Brüche und Dezimalbrüche

Was ist ein Bruch?

Du kannst Anteile an einem Ganzen als Bruch schreiben. Zum Beispiel: Wenn du bereits ein Drittel deiner ganzen Pizza gegessen hast, kannst du diesen Anteil wie folgt als Bruch schreiben:

$\frac13$

Ein Bruch ist eine andere Schreibweise für eine Divisionsaufgabe, im obigen Beispiel $1:3$, und setzt sich wie folgt zusammen:

• Oberhalb des Bruchstriches steht der Zähler, welcher die Anzahl angibt. In dem obigen Beispiel also $1$.
• Der Bruchstrich steht für „geteilt durch“.
• Unterhalb des Bruchstriches steht der Nenner, welcher den Bruch benennt. Dieser entspricht im obigen Beispiel „Drittel“.

Brüche kürzen und erweitern

In manchen Aufgaben ist es sinnvoll, dass du Brüche kürzen und erweitern kannst.

• Brüche mit einer Zahl kürzen bedeutet, dass du den Zähler und den Nenner des Bruches durch dieselbe Zahl dividierst: $\frac{5}{10}=\frac{5:5}{10:5}=\frac12$.
• Brüche mit einer Zahl erweitern bedeutet, dass du den Zähler und den Nenner des Bruches mit derselben Zahl multiplizierst: $\frac34=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac68$.

In beiden Fällen ändert sich zwar der Bruch, jedoch nicht dessen Wert.

Das Erweitern von Brüchen benötigst dann, wenn du zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen möchtest. So erhältst du gleichnamige Brüche. Dabei gehst du wie folgt vor:

• Du suchst zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner.
• Dann erweiterst du beide Brüche so, dass diese im Nenner die gleiche Zahl, nämlich das kleinste gemeinsame Vielfache haben.

Brüche ordnen und vergleichen

Du kannst Brüche ordnen und vergleichen. Hierfür müssen die Brüche jedoch gleichnamig sein. Dann ordnest oder vergleichst du die Zähler: $\frac2{10}\lt\frac5{10}$, da $2\lt 5$ ist.

Du kannst auch nicht gleichnamige Brüche vergleichen und sortieren. Du musst sie dann allerdings zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Brüche und die vier Grundrechenarten

Die Addition oder Subtraktion von Brüchen

Wenn du Brüche addieren oder Brüche subtrahieren möchtest, müssen diese gleichnamig sein. Dann kannst du den gemeinsamen Nenner beibehalten und die Zähler addieren oder subtrahieren. Das jeweilige Vorgehen siehst du im Folgenden am Beispiel einer Addition:

$\frac37+\frac27=\frac{3+2}7=\frac57$

Was machst du, wenn die Brüche, die du addieren oder subtrahieren willst, nicht gleichnamig sind? Dann bringst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, indem du entsprechend erweiterst.

Die Multiplikation von Brüchen

Wie kannst du Brüche multiplizieren? Du multiplizierst die Zähler und die Nenner jeweils miteinander: $\frac23\cdot\frac14=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 4}=\frac2{12}$.

Diesen Bruch kannst du übrigens noch kürzen mit $2$ zu $\frac2{12}=\frac{2:2}{12:2}=\frac16$.

Die Division von Brüchen

Um Brüche zu dividieren, gehst du wie folgt vor:

• Du bildest den Kehrwert des Divisors, also des Bruches, durch den du dividieren sollst.
• Dann multiplizierst du den Dividenden, also den Bruch, welchen du teilen sollst, mit diesem Kehrwert.

Das Vorgehen wird im Folgenden verdeutlicht:

$\frac12:\frac34=\frac12\cdot \frac43=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}=\frac46=\frac23$

Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Was sind Dezimalbrüche? Hier wird zwischen Dezimalbrüchen in Kommaschreibweise und in Bruchschreibweise unterschieden.

• Die Bruchschreibweise entspricht den oben genannten Brüchen, wobei im Nenner eines Dezimalbruches eine Zehnerpotenz steht.
• Bei der Kommaschreibweise spricht man oft von Dezimalzahlen oder Kommazahlen. Genauer sind Dezimalzahlen allerdings alle Zahlen im Zehnersystem.

Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Du sollst Brüche in Dezimalbrüche umwandeln.

• Du kannst entweder den Bruch so erweitern, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist: $\frac15=\frac2{10}$. Das sind also $2$ Zehntel und somit $0,2$. Das ist allerdings nicht immer möglich.
• Du kannst auch schriftlich dividieren. So erhältst du eine Kommazahl.

Diese Kommazahl kann periodisch oder abbrechend sein:

• $\frac12=0,5$ ist eine abbrechende Kommazahl. Sie hat nur endlich viele Nachkommastellen.
• $\frac13=0,\overline{3}$ ist eine periodische Kommazahl. Hinter dem Komma kommen unendlich viele Nachkommastellen.

Umgekehrt kannst du auch Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.

Zudem kannst du Dezimalbrüche runden und überschlagen sowie mit Dezimalbrüchen rechnen.