Adiabatische Zustandsänderungen

Adiabatische Zustandsänderungen Übung

• Gib die Aussagen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik wieder.

  Tipps

  Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik folgt aus der Energieerhaltung.

  Wie kann die innere Energie eines Systems verändert werden?

  Lösung

  Eine Grundlage der Thermodynamik sind insgesamt vier Hauptsätze. Davon leitet sich der 1. Hauptsatz der Thermodynamik aus der Energieerhaltung ab.

  Die innere Energie eines Systems kann sich demnach nur ändern, wenn dem System durch Arbeit oder Wärme Energie zugeführt wird oder das System Arbeit verrichtet oder Wärme abgibt. Energie entsteht also weder aus dem Nichts noch kann sie vernichtet werden.

• Beschreibe die adiabatischen Zustandsänderungen in Formeln ausgehend vom ersten Hauptsatz der Thermodynamik.

  Tipps

  Welche der drei physikalischen Größen in der Formel des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik ist bei adiabatischen Zustandsänderungen gleich Null?

  Wie lautet die vereinfachte Gleichung demnach?

  Und wie kann die vereinfachte Gleichung auch umgestellt werden?

  Lösung

  Bei adiabatischen Zustandsänderungen erfolgt kein Austausch von Wärme mit der Umgebung. In einer Formel ausgedrückt bedeutet dies, dass $Q~=~0$ ist.

  Somit zeigt sich folgende Vereinfachung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik zu dem Ausdruck $\Delta E~=~W$. Das bedeutet, dass sich die innere Energie des Systems nur durch eine Energiezufuhr durch Arbeit erhöhen kann oder das System durch das Verrichten von Arbeit seine innere Energie verringern kann.

  Dies kann man durch Umstellen der Gleichung auch in der Form $\Delta E~-~W~=~0$ schreiben. Die Differenz aus Änderung der inneren Energie eines ruhenden Systems und der verrichteten Arbeit muss Null sein, da ein Energieübertrag durch Wärme bei adiabatischen Zustandsänderungen nicht möglich ist.

• Erkläre, unter welchen Voraussetzungen adiabatische Zustandsänderungen auftreten können.

  Tipps

  Was ist das wesentliche Kriterium für eine adiabatische Zustandsänderung?

  Welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es, die Bedingungen für adiabatische Zustandsänderungen zu erzeugen?

  Welche technischen Beispiele spiegeln diese Möglichkeiten jeweils wieder?

  Lösung

  Adiabatische Zustandsänderungen sind dadurch gekennzeichnet, dass keine Wärme Q zwischen dem System und der Umgebung ausgetauscht werden kann.

  Dies kann man (näherungsweise) auf verschiedenen in Wegen erreichen. Eine Möglichkeit ist der Einsatz einer Isolierung, die sämtliche Formen von Energieübertrag Form von Wärme (Wärmestrahlung, -strömung und -leitung) unterbindet. Es ist jedoch auch möglich, die Zeiträume, in denen die adiabatische Zustandsänderung abläuft, sehr klein zu halten. So verläuft sowohl die Kompression der Luft im Dieselmotor als auch die Kompression der Luft im pneumatischen Feuerzeug in Sekundenbruchteilen ab. In diesen Zeiträumen ist der Übertrag von Energie in Form von Wärme verschwindend gering.

• Analysiere das gezeigte p-V-Diagramm einer adiabatischen Zustandsänderung.

  Tipps

  Bei welchen Volumina und Drücken nähert sich die Adiabate den Isothermen mit hohen beziehungsweise mit geringen Temperaturen an?

  Welcher Zusammenhang zwischen Druck und Volumen gilt für die adiabatische Zustandsänderung?

  Lösung

  Adiabatische Zustandsänderungen folgen dem folgenden Zusammenhang zwischen Druck $p$ und Volumen $V$:

  $p\cdot V^\kappa=\text {konstant}$.

  Dabei ist $\kappa$ der so genannte Adiabatenexponent. Für alle Punkte auf der Adiabate gilt dann, dass das Produkt aus Druck und Volumen hoch Kappa konstant ist. Auch für die markierten drei Zustände im Diagramm kann daher der Zusammenhang so formuliert werden:

  $p_1\cdot V_1^{\kappa}=p_2\cdot V_2^{\kappa}=p_3\cdot V_3^{\kappa}$.

  Adiabaten zeigen einen ähnlichen Verlauf wie Isothermen. Diese sind gekennzeichnet durch den Zusammenhang $p\cdot V=\text {konstant}$. Adiabaten zeigen im Bereich hoher Drücke (also hier zum Beispiel bei Punkt (1)) ein ähnliches Verhalten wie Isothermen mit einer hohen Temperatur. Umgekehrt nähern sich Adiabaten im Bereich niedriger Drücke (also hier zum Beispiel im Punkt (3)) Isothermen mit geringen Temperaturen an.

• Benenne Beispiele, bei denen (annähernd) adiabatische Zustandsänderungen auftreten.

  Tipps

  Zwei Beispiele zeigen die Erhöhung der inneren Energie durch das Zuführen von Arbeit mittels Kompression.

  Zwei Beispiele verdeutlichen das Verringern der inneren Energie durch adiabatischen Druckabfall.

  Lösung

  Im Dieselmotor und auch im pneumatischen Feuerzeug wird Luft durch Kompression stark verdichtet. Um die Luft zu verdichten, muss an dem System Arbeit verrichtet werden. Die Energiezufuhr durch Arbeit führt direkt zu einem Anstieg der inneren Energie des Systems. Die Temperatur der Luft nimmt stark zu und erreicht dabei die Zündtemperatur für den Dieseltreibstoff im Dieselmotor beziehungsweise den Zunder im pneumatischen Feuerzeug.

  Umgekehrt führen auch adiabatische Druckabfälle zu verschiedenen Phänomenen. Die innere Energie der Luft nimmt dabei ab und die Temperatur der Luft sinkt. Erreicht sie dabei eine Temperatur, bei der die Luft nicht mehr den gesamten Wasserdampf enthalten kann, bilden sich Wassertröpfchen zu Wolken oder erzeugen radioaktive Zerfälle Kondensationsspuren in der Nebelkammer.

• Sage die experimentell zu erwartenden Druckwerte für die untersuchte adiabatische Zustandsänderung voraus.

  Tipps

  Leite dir aus dem gegebenen Messwertpaar zunächst die Konstante für dieses Gas ab und stelle anschließend die Gleichung nach der gesuchten Größe um.

  Lösung

  Für adiabatische Zustandsänderungen gilt der folgenden Zusammenhang zwischen dem Volumen $V$ des Gases und dem Druck $p$ des Gases:

  $p\cdot V^{\kappa}=\text {konstant}$.

  Der Adiabatenexponent ist bekannt, die Konstante auf der rechten Gleichungsseite kann aus dem gegebenen (zweiten) Messwertpaar ermittelt werden:

  $p_2\cdot V_2^{\kappa}=2,0\cdot (1,0)^{\frac 53}=2$

  Dann lassen sich die anderen Messwerte für $p$ aus der umgestellten Gleichung vorhersagen:

  $p=\frac {2} {V^{\frac 53}}$.

  Zum Beispiel gilt für das erste Messwertpaar:

  $p_1=\frac {2} {(0,5)^{\frac 53}}=6,3$.

  Die vorhergesagten Messergebnisse zeigen den typischen adiabatischen Verlauf zwischen Volumen und Druck eines idealen Gases. Für kleine Volumina ist der Gasdruck hoch und nimmt dann mit steigendem Volumen immer weiter ab.