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Der senkrechte Wurf

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Lerntext zum Thema Der senkrechte Wurf

Grundlagen für das Verständnis des senkrechten Wurfs

Die Grundlage, um den senkrechten Wurf verstehen zu können, sind das Superpositionsprinzip, die gleichförmige Bewegung und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Superposition ist ein grundlegendes Prinzip in der Physik, das besagt, dass sich zwei oder mehr physikalische Erscheinungen wie Bewegungen ungestört überlagern können.

Eine geradlinig gleichförmige Bewegung beschreibt eine geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, bei der sich der bewegte Körper in gleichen Zeitabschnitten um gleiche Strecken bewegt.

$s(t) = v \cdot t$

$v(t) = const. $

Eine geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine geradlinige Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit des Körpers in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Betrag ändert.

$s(t) = \dfrac{1}{2} a \cdot t^2$

$v(t) = a \cdot t$

Der senkrechte Wurf nach unten

Der senkrechte Wurf nach unten beschreibt die Bewegung eines Körpers, der senkrecht nach unten abgeworfen wird. Beim senkrechten Wurf nach unten spielen zwei Bewegungen eine Rolle:

  1. Eine geradlinige, gleichförmige Bewegung mit konstanter Anfangsgeschwindigkeit $v_0$, die von der Stärke des Wurfs abhängt
  2. Eine geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung, deren zeitabhängige Geschwindigkeit durch die gleichmäßige Beschleunigung aufgrund der Erdanziehungskraft verursacht wird. Diese beiden Bewegungen überlagern sich, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.

Geschwindigkeit und Wurfhöhe

Um die Bewegung eines nach unten geworfenen Körpers zu beschreiben, überlagern wir die Anfangsgeschwindigkeit mit der Beschleunigung durch die Schwerkraft. Die gesamte Geschwindigkeit $v(t)$ ergibt sich dann als:

$v(t)=-v_0 - g \cdot t$ ​

Hierbei repräsentiert $v(t)$ die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$, $v_0$ ist die Anfangsgeschwindigkeit und $g$ die Fallbeschleunigung.

Beachte, dass wir die Bewegung nach unten als negativ definieren. Aus diesem Grund haben die Anfangsgeschwindigkeit und die Beschleunigung durch die Erdanziehungskraft ein negatives Vorzeichen.

Ähnlich setzt sich der zurückgelegte Weg s(t) aus zwei Teilen zusammen:

  1. Der Weg der gleichförmigen Bewegung: $s(t)=-v_0 \cdot t$

  2. Der Weg der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: $s(t)=- \dfrac{1}{2} g \cdot t^2$

Die Überlagerung dieser beiden Wege ergibt die Gesamtwegformel:

$s(t)=-v_0 \cdot t - \dfrac{1}{2} g \cdot t^2$

Die Wurfhöhe $h$ ist hierbei der Weg, den der Körper nach dem Abwurf in Richtung Boden zurücklegt.

Beispiel: der senkrechte Wurf nach unten

Ein Ball wird von einem $5$ Meter hohen Turm mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $\pu{3 m//s}$ senkrecht nach unten geworfen. Wir möchten berechnen, wie lange es dauert, bis der Ball den Boden erreicht.

Um die Fallzeit zu berechnen, nutzen wir die Formel $s(t)$ für den senkrechten Wurf nach unten.

Diese lautet $s(t)=-v_0 \cdot t - \dfrac{1}{2} g \cdot t^2$.

Setzen wir $s(t)=-5 \text{m}$ (da der Weg nach unten als negativ definiert wird), $v_0 = \pu{-3 m/s}$ und $g= \pu{9,81 m//s2}$, erhalten wir die folgende Gleichung:

$-5 = -3 \cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot t^2$

Diese quadratische Gleichung kann mithilfe der $p$-$q$-Formel gelöst werden. Als Lösung dieser quadratischen Gleichung erhalten wir:

$t_1 =\pu{0,75 s}$ und $t_2 = \pu{-1,36 s}$

Offensichtlich kann die Fallzeit nicht negativ sein, sodass wir wissen, dass der Ball $t=\pu{0,75 s}$ benötigt, um aus einer Höhe von $\pu{5 m}$ und mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $\pu{3 m//s}$ den Boden zu erreichen.

Der senkrechte Wurf nach oben

Der senkrechte Wurf nach oben beschreibt die Bewegung eines Körpers, der senkrecht nach oben geworfen wird. Im Unterschied zum Wurf nach unten ist hier die Anfangsrichtung der Bewegung nach oben gerichtet. Beim senkrechten Wurf nach oben sind zwei Bewegungen beteiligt.

  1. Eine geradlinig gleichförmige Bewegung mit konstanter Anfangsgeschwindigkeit $v_0$, die von der Stärke des Wurfs abhängt

  2. Eine geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit zeitabhängiger Geschwindigkeit durch die gleichmäßige Beschleunigung durch die Erdanziehungskraft $v(t)= - g \cdot t$

Diese Bewegungen überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip.

Geschwindigkeit und Wurfhöhe

Die Gesamtgeschwindigkeit $v(t)$ beim senkrechten Wurf nach oben setzt sich zusammen als $v(t)=v_0-g \cdot t$. Die Bewegung nach oben wird positiv definiert. Ähnlich setzt sich der zurückgelegte Weg $s(t)$ aus den folgenden zwei Bewegungen zusammen:

  1. Der Weg der gleichförmigen Bewegung $s(t)=v_0 \cdot t$

  2. Der Weg der gleichmäßig beschleunigten Bewegung $s(t)= - \dfrac{1}{2} g \cdot t^2$

Die Kombination dieser beiden Wege ergibt die Gesamtwegformel $s(t)=v_0 \cdot t - \dfrac{1}{2} g \cdot t^2$.​

Die Wurfhöhe $h$ ist hierbei der Weg, den der Körper nach dem Abwurf in Richtung seines höchsten Punkts zurücklegt.

Der senkrechte Wurf nach oben vom Boden aus

Für die Steigzeit $t_\text{s}$, also die Zeit bis zum Erreichen der Wurfhöhe $h$, gilt:

$t_\text{s}=\dfrac{v_0}{g}$

Für die Wurfhöhe $h$ gilt:

$h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$

Vergleich: Wurf nach oben und unten

Um die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen dem senkrechten Wurf nach unten und dem Wurf nach oben zu verstehen, betrachten wir die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit und die Auswirkungen der Erdanziehung.

Einflussgröße Wurf nach unten Wurf nach oben
Anfangsgeschwindigkeit negativ, weil nach unten gerichtet: $- v_0$ positiv, weil nach oben gerichtet: $+ v_0$
Erdanziehung negativ, weil nach unten gerichtet negativ, weil nach unten gerichtet
Formel Weg $s(t) = -v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot$ t2 $s(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot$ t2
Formel Geschwindigkeit $v(t) = -v_0 - g \cdot t$ $v(t) = v_0 - g \cdot t$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Der senkrechte Wurf

Was ist der Hauptunterschied zwischen dem Wurf nach oben und nach unten?
Warum ist die Wurfhöhe beim senkrechten Wurf nach unten negativ?
Können die gleichen Formeln für den Wurf nach oben und unten verwendet werden?
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Der senkrechte Wurf Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Der senkrechte Wurf kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere den Begriff Superposition.

    Tipps

    Superposition kennst du vielleicht vom Kräfteparallelogramm.

    Lösung

    Superposition bedeutet Überlagerung und tritt auf, wenn beispielsweise verschiedene Kräfte auftreten und somit Bewegungen hervorrufen.

    Wichtig ist, dass sich die Kräfte oder Bewegungen gegenseitig nicht beeinflussen dürfen. Was das bedeutet, kannst du dir am besten an hügeligen Strecke vorstellen. Hier hängt die Höhe des Körpers von der Position auf der Strecke also der x-Richtung ab. Die Bewegung in x-Richtung beeinflusst also die Bewegung in h-Richtung.

    Du kannst Bewegungen nicht nur überlagern sondern eine Bewegung immer auch als Kombination zweier Bewegungen ansehen und sie in ihre zwei Bewegungen aufteilen.

  • Gib die Formeln für den senkrechten Wurf nach unten an.

    Tipps

    Es wird nach den Formeln gesucht, die die jeweilige Größe korrekt angeben, auch wenn die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist.

    Die Anfangshöhe muss nicht berücksichtigt werden, wenn das Koordinatensystem richtig gewählt wird.

    Lösung

    Es ist nach den Formeln gesucht, die die jeweilige Größe korrekt angeben, auch wenn die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist.

    Genauso wie $v(t)=a\cdot t$ ist $h(t)=\frac 1 2 a \cdot t^2$ eine der ganz entscheidenden Grundgleichungen der Kinematik, der Lehre der Bewegungen. Betrachten wir Bewegungen, die von der Fallbeschleunigung $g\approx 9,81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ verursacht werden, wird die Beschleunigung $a=-g$ gesetzt. Somit sind die Grundgleichungen nicht falsch, jedoch berücksichtigen sie nicht die Anfangsgeschwindigkeit, die ein Körper beim senkrechten Wurf nach unten besitzt sondern sind die Gleichungen für den freien Fall.

    Diese Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ wird hingegen in den folgenden Formeln berücksichtigt. Das Vorzeichen vor $v_0$ ist bereits negativ, sodass für $v_0$ in eine negative Richtung das negative Vorzeichen nicht mehr eingesetzt werden muss.

    $v(t)=-v_0-g\cdot t$

    $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2hg}$

    $h(t)=-v_0t - \frac 1 2 g \cdot t^2$

  • Untersuche, was mit den Äpfeln passiert, wenn sich ein Apfel vom Baum löst und beim Herunterfallen leicht einen darunter hängenden Apfel streift, sodass dieser sich ebenfalls löst.

    Tipps

    Durch das Streifen des Apfels verliert der höher hängende Apfel keine Geschwindigkeit.

    Untersuche die Bewegungen ab dem Moment der Berührung.

    Lösung

    In dem Moment, in dem der höher hängende Apfel A den tiefer hängenden Apfel B streift, löst er diesen und wir können diesen Moment als Beginn zweier Bewegungen auffassen.

    Apfel A besitzt in diesem Moment eine Anfangsgeschwindigkeit $-v_0$. Apfel B hingegen besitzt die Anfangsgeschwindigkeit $v_0=0$. Somit besitzt der Apfel B eine um $v_0$ kleinere Geschwindigkeit, da beide mit der Fallbeschleunigung $g$ beschleunigt werden, solange sie beide fallen.

    Da Apfel A schneller ist, kommt er auch früher auf dem Boden an.

    Ab dem Moment der Berührung fallen beide Äpfel um die gleiche Strecke. Apfel A hing jedoch höher und musste daher eine größere Fallstrecke zurücklegen.

  • Berechne die Zeiten und Endgeschwindigkeiten der Gegenstände.

    Tipps

    Verwende den gerundeten Wert für die Fallbeschleunigung $g=10\, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

    Bestimme zuerst die Endgeschwindigkeiten.

    Berechne daraufhin die Zeit.

    Lösung

    In der Aufgabe sind sowohl die Anfangsgeschwindigkeit für den Wurf nach unten als auch die Fallhöhe gegeben. Wir legen unseren Ursprung des Koordinatensystems wieder in die Höhe des Abwurfes.

    Anhand einer Beispielrechnung für den Stein kannst du den Ablauf der Rechnung nachvollziehen.

    Gegeben: $v_0=3\, \frac{\text{m}}{\text{s}},\qquad h=-20\,\text{m}$

    Gesucht: $v(-20\,\text{m}),~t$

    Formeln:

    $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2 \cdot h \cdot g}$

    $v(t)=-v_0-g\cdot t$

    Rechnung:

    $\begin{align} v(h)&=-\sqrt{v_0^2-2\cdot h\cdot g} &&|\text{einsetzen}\\ v(-15\,\text{m})&=-\sqrt{(3\, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2-2\cdot (-20\,\text{m})\cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\\ v(-15\,\text{m})&=-\sqrt{9, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}+400\, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\\ v(-15\,\text{m})&\approx-20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align} $

    Die Endgeschwindigkeit des Steines beim Aufkommen auf dem Boden beträgt etwa $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Beim Einsetzen in die nächste Formel müssen wir beachten, dass das Minuszeichen ebenfalls eingesetzt werden muss.

    $ \begin{align} v(t)&=-v_0-g\cdot t &&|+v_0\\ v(t)+v_0&=-g\cdot t &&|:-g\\ t&=-\frac{v(t)+v_0}{g} &&|\text{einsetzen}\\ t&=-\frac{-20\, \frac{\text{m}}{\text{s}}+3\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ t&=-\frac{-17\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}=1,7\,\text{s} \\ \end{align} $

    Genauso funktionieren die Rechnungen für den Basketball und den Wassertropfen. Beachte beim Apfel, dass der tiefer hängende Apfel zu Beginn seines Falles dieselbe Geschwindigkeit hat wie der andere Apfel nach 1 m freien Fall. Du kannst also genauso gut nur den oberen Apfel betrachten und die Zeit für den freien Fall bestimmen sowie seine Endgeschwindigkeit.

    Freier Fall und senkrechter Wurf nach unten unterscheiden sich nur in der Anfangsgeschwindigkeit. Der freie Fall ist somit ein Sonderfall des senkrechten Wurfes nach unten mit $v_0=0$.

  • Vergleiche die senkrechten Würfe nach oben und unten.

    Tipps

    Was ist der Unterschied zwischen dem Wurf nach oben und nach unten?

    Beachte insbesondere die Vorzeichen.

    Lösung

    Der einzige Unterschied zwischen dem senkrechten Wurf nach oben und dem senkrechten Wurf nach unten liegt in der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit. Während $v_0$ bei Wurf nach oben positiv ist, besitzt sie beim Wurf nach unten ein negatives Vorzeichen $-v_0$.

  • Berechne die Geschwindigkeit des Balles, wenn er auf den Boden aufkommt und gib an, wie lange ein Dribbling dauert.

    Tipps

    Überlege dir, wie du dein Koordinatensystem legst. Wo also die Höhe h=0 ist.

    Die Formel für die Zeit kannst du zum Beispiel aus dem Zeit-Weg-Gesetz mit Hilfe der p-q-Formel herleiten. Es gibt aber auch eine einfacherer Möglichkeit.

    Lösung

    In der Aufgabe sind sowohl die Anfangsgeschwindigkeit für den Wurf nach unten als auch die Fallhöhe gegeben. Wir legen unseren Ursprung des Koordinatensystems wieder in die Hand.

    Gegeben: $v_0=4\, \frac{\text{m}}{\text{s}},\qquad h=-1\,\text{m}$

    Gesucht: $v(-1\,\text{m}),~t_\text{dribbel}$

    Formeln:

    $t_\text{Dribbel}=t_\text{Fall}+t_\text{Steig}$

    $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2 \cdot h \cdot g}$

    $v(t)=-v_0-g\cdot t$

    Rechnung:

    $\begin{align} v(h)&=-\sqrt{v_0^2-2\cdot h\cdot g} &&|\text{einsetzen}\\ v(-1\,\text{m})&=-\sqrt{(4\, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2-2\cdot (-1\,\text{m})\cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\\ v(-1\,\text{m})&=-\sqrt{16, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}+20\, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\\ v(-1\,\text{m})&=-6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align} $

    Die Endgeschwindigkeit des Basketballs beim Aufkommen auf dem Boden beträgt $6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Beim Einsetzen in die nächste Formel müssen wir beachten, dass das Minuszeichen ebenfalls eingesetzt werden muss!

    $ \begin{align} v(t)&=-v_0-g\cdot t &&|+v_0\\ v(t)+v_0&=-g\cdot t &&|:-g\\ t&=-\frac{v(t)+v_0}{g} &&|\text{einsetzen}\\ t&=-\frac{-6\, \frac{\text{m}}{\text{s}}+4\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ t&=-\frac{-2\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}=0,2\,\text{s} \\ \end{align} $

    Die Zeit, die der Ball benötigt, um nach dem Aufprall die Hand zu erreichen, ist erstaunlicherweise genauso groß wie die Fallzeit. Das kannst du nachrechnen, indem du das Zeit- Geschwindigkeit-Gesetz für den Wurf nach oben verwendest.

    $v(t)=v_0-g\cdot t$

    Du siehst: Beide Formeln unterscheiden sich nur in dem Vorzeichen vor der Anfangsgeschwindigkeit. Das soll es dir ermöglichen, stets positive Geschwindigkeiten für $v_0$ einzusetzen. Achtung: v(t) hingegen ist beim Wurf nach unten negativ und beim Wurf nach oben positiv. Am einfachsten ist es, wenn du dir nur die Formel für den Wurf nach oben merkst und die Anfangsgeschwindigkeit korrekt mit dem negativen Vorzeichen einsetzt, falls etwas nach unten geworfen wird.

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