Schiefer Wurf – Überlagerung von Bewegungen

Schiefer Wurf – Überlagerung von Bewegungen Übung

• Beschreibe die Bahnkurve eines schiefen Wurfs.

  Tipps

  Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ kann in eine Geschwindigkeit in x- und eine in y-Richtung aufgeteilt werden.

  In x-Richtung wird die zurückgelegte Strecke aufgezeichnet, in y-Richtung die zurückgelegte Höhe. Wofür stehen dann $s_x$ und $s_y$?

  Lösung

  Die Bahnkurve wird in ein kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen $x$ und $y$ eingetragen.
  Dort steht die x-Achse für den zurückgelegten Weg in x-Richtung. $s_x$ entspricht damit dem Weg bis zum Auftreffen auf den Boden.
  Die y-Achse steht für den zurückgelegten Weg in y-Richtung, also die Höhe. $s_y$ steht damit für die Maximalhöhe, die das Wurfgeschoss erreicht.

  Die Anfangsgeschwindigkeit, mit der das Wurfgeschoss unter dem Winkel Alpha abgeworfen wird, kann in zwei Teile aufgeteilt werden:
  die Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung $v_x$ und die Anfangsgeschwindigkeit in y-Richung $v_y$.

  Die Bahnkurve ist der Weg, den das Geschoss in der Luft zurücklegt. Diese wird mit $s(t)$ bezeichnet und gibt die genaue Position des Wurfgeschosses zu jedem Zeitpunkt $t$ an.

• Beschreibe den schrägen Wurf.

  Tipps

  Die rote Kurve zeigt, wie sich der geworfene Körper in der Luft bewegt. An welche mathematische Form erinnert diese Kurve?

  In x-Richtung fliegt der Körper nur geradeaus. Er verändert sein Geschwindigkeit nicht. Wie nennt man eine solche Bewegung?

  In y-Richtung wird der Körper durch die Erdanziehungskraft beschleunigt. Wie nennt man eine solche Bewegung?

  Lösung

  Ein schräger Wurf ist eine Überlagerung aus zwei unterschiedlichen Bewegungen.

  Der Körper bewegt sich einmal in Richtung der x-Achse vorwärts. Hier wirkt keine Kraft auf ihn. Er behält deswegen seine ursprüngliche Geschwindigkeit bei.

  Außerdem bewegt der Körper sich in Richtung der y-Achse. Hier bewegt er sich erst aufwärts, kehrt an einem gewissen Punkt um und bewegt sich dann wieder abwärts.
  Die Erdanziehungskraft zieht ihn nach unten. Genauer wird er durch die Erdbeschleunigung nach unten beschleunigt.

  In der Bewegung wirkt sich dies so aus, dass der Körper immer langsamer wird, je weiter er nach oben kommt. Nachdem er seinen höchsten Punkt erreicht hat, kehrt sich die Bewegungsrichtung um. Er wird dann nach unten wieder schneller.

  Es handelt sich hierbei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

  Da die x-Achse den Boden darstellt, ist es nicht sinnvoll, negative y-Werte einzusetzen. Dort wird der Körper nie hinkommen.
  Auch negative Zeiten ergeben rein intuitiv physikalisch keinen Sinn.

• Leite Formeln zur Berechnung von verschiedenen Größen her.

  Tipps

  In x-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichförmige Bewegung. Damit kann die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit sowie mit der Flugzeit auch die Strecke bis zum Aufprall berechnet werden.

  Beim Aufprall hat das Geschoss die gleiche Geschwindigkeit wie beim Start. Damit kann die Zeit bis zum Aufprall berechnet werden.

  In y-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Es kann daraus die Höhe zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden.

  Wie kann man die Beschleunigung $a$ und die Anfangsgeschwindigkeiten in x- und y-Richtung mit den gegebenen Größen ausdrücken? Welche Kraft beschleunigt das Geschoss wieder in Richtung des Bodens?

  Lösung

  Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ kann in zwei Teilgeschwindigkeiten in x- und in y-Richtung aufgeteilt werden.
  Hier gilt:

  $v_{x}=v_0 \cdot \cos{({\alpha})}$ und
  $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$

  In y-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Es gilt:

  $v_y(t) = a \cdot t + v_{y0}$ und
  $s_y(t) = v_{y0} \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$

  In x-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichförmige Bewegung. Es gilt:

  $v_x=\frac{x}{t}$

  Berechnung der Flugzeit $t_{Flug}$:
  Am Ende des Fluges ist die Geschwindigkeit in y-RIchtung genauso groß wie am Anfang. Sie zeigt allerdings in die andere Richtung.
  Es gilt:

  $ \begin{align} && -v_{y0}&=a \cdot t_{Flug} + v_{0y} &|& -v_{y0} \\ & \leftrightarrow & -2\cdot v_{y0} &= a \cdot t_{Flug} &|& \div a \\ & \leftrightarrow & t_{Flug} &= \frac{-2 \cdot v_{y0}}{a} \end{align} $

  Hierbei kann die Beschleunigung $a$ durch die Erdbeschleunigung $g$ ersetzt werden. Diese wirkt nach unten und trägt damit ein negatives Vorzeichen.

  Setzt man nun $a=-g$ und $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$ ein, dann folgt:

  $\begin{align} t_{Flug} &= \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \end{align} $

  Danach kann die zurückgelegte Strecke in x-Richtung berechnet werden.

  Es wird $v_x=\frac{x}{t}$ genutzt und nach $x_s$ umgestellt:
  $x=v_x \cdot t$

  Mit $v_x=v_0 \cdot \cos{({\alpha})}$ folgt:
  $x=v_0 \cdot \cos{({\alpha})} \cdot t$

  Dort wird die Formel für $t_{Flug}$ eingesetzt, um $s_x$ zu berechnen. Dies ist die zurückgelegte Strecke bis zum Aufprall.
  $\begin{align} s_x&=v_0 \cdot cos{(\alpha)} \cdot \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \\ &= \frac{2 \cdot v_0^2 \cdot \sin{(\alpha)}\cdot \cos{(\alpha)}}{g} \end{align} $

  Zur Berechnung der Höhe zu einem beliebigen Zeitpunkt wird $s_y(t)$ genutzt.
  Dort wird wieder $a=-g$ und $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$ ersetzt. Es folgt:
  $s_y(t) = v_0 \cdot \sin{({\alpha})} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}$

• Berechne die Entfernung des Aufpralls und die Flugdauer.

  Tipps

  Die Geschwindigkeit in y-Richtung ist am Ende des Fluges genauso groß wie am Anfang. Damit kann die Flugzeit $t_{Flug}$ berechnet werden. In welche Richtung zeigt die Geschwindigkeit am Ende des Fluges?

  Der Körper wird durch die Erdbeschleunigung beschleunigt. In welche Richtung wirkt die Erdanziehungskraft und welches Vorzeichen muss die Beschleunigung dann tragen?

  Die Anfangsgeschwindigkeit kann in die Teilgeschwindigkeiten $v_x$ und $v_y$ aufgeteilt werden. Wie können diese mit $v_0$ und $\alpha$ berechnet werden?

  Lösung

  Zuerst wird die Zeit berechnet, die für den Flug gebraucht wird.

  Hierfür wird $v_y = a \cdot t + v_{y0}$ genutzt.
  Am Ende des Fluges ist die Geschwindigkeit in y-RIchtung genauso groß wie am Anfang. Sie zeigt allerdings in die andere Richtung.
  Es gilt: $ \begin{align} && -v_{y0}&=a \cdot t_{Flug} + v_{0y} &|& -v_{y0} \\ & \leftrightarrow & -2\cdot v_{y0} &= a \cdot t_{Flug} &|& \div a \\ & \leftrightarrow & t_{Flug} &= \frac{-2 \cdot v_{y0}}{a} \end{align} $

  Hierbei kann die Beschleunigung $a$ durch die Erdbeschleunigung $g$ ersetzt werden. Diese wirkt nach unten und trägt damit ein negatives Vorzeichen.

  Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ kann in zwei Teilgeschwindigkeiten in x- und in y-Richtung aufgeteilt werden.
  Hier gilt
  $v_{x}=v_0 \cdot \cos{({\alpha})}$ und
  $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$

  Die Geschwindigkeit in x-Richtung ändert sich während der Bewegung nicht.

  Setzt man nun $a=-g$ und $v_y=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$ ein, dann folgt:
  $\begin{align} t_{Flug} &= \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \\ &=\frac{2 \cdot 20 ~\frac{m}{s}\cdot \sin{({30})}}{9,81 ~\frac{m}{s^2}} & \approx 2,04 \end{align} $

  Danach kann die zurückgelegte Strecke in x-Richtung bis zum Aufprall berechnet werden.
  Es wird $v_x=\frac{s_x}{t_{Flug}}$ genutzt und nach $x_s$ umgestellt.
  $s_x=v_x \cdot t_{Flug}$

  Dort wird die Formel für $t$ und $v_x$ eingesetzt.
  Um Fehler zu vermeiden, wird nicht das zuvor gerundete Ergebnis genutzt.

  $\begin{align} s_x&=v_0 \cdot cos{(\alpha)} \cdot \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \\ &= \frac{2 \cdot v_0^2 \cdot \sin{(\alpha)}\cdot \cos{(\alpha)}}{g} \\ &= \frac{2 \cdot (20 ~\frac{m}{s})^2 \cdot \sin{(30)}\cdot \cos{(30)}}{9,81~ \frac{m}{s^2}} \approx 35,31 ~ m \end{align} $

• Berechne die Höhe nach einer Sekunde Flugzeit.

  Tipps

  Setze die gegebenen Größen in die Gleichung ein. Denke auch an die Einheit des Ergebnisses.

  Die Flughöhe soll nach einer Zeit von einer Sekunde berechnet werden. Wie groß muss $t$ dann sein?

  Es gilt: $t=1 $

  Wenn die Ziffer zwei Stellen hinter dem Komma kleiner als 5 ist, wird abgerundet. Ist sie gleich oder größer als 5, dann wird aufgerundet.

  Lösung

  Nach einer Sekunde gilt: $t=1$.
  Es wird also
  $s_y(t=1)$ berechnet.

  Mit den gegebenen Werten folgt:
  $s_y(1)=40 ~\dfrac{m}{s} \cdot sin{(45)} \cdot 1 ~s - \dfrac{9,81 ~ \dfrac{m}{s^2} \cdot (1 ~s)^2}{2} \approx 23,379 m \approx 23,38 m.$

  Die zweite Ziffer hinter dem Komma ist größer als 5. Deswegen wird aufgerundet.

• Berechne die maximale Flughöhe.

  Tipps

  Zwischen null und vier zeigt dieser Graph den Verlauf eines schrägen Wurfes ab der Höhe $y=0$. Der Verlauf wird auch Bahnkurve genannt. Wie verschiebt sich der Höhepunkt, wenn die Abwurfhöhe nicht null ist?

  Parabeln sind symmetrisch. Wo liegt dann das Maximum?

  Bei einer quadratischen Gleichung ist ein Ergebnis negativ. Kann die Zeit negativ werden?

  Lösung

  Der geworfene Körper macht beim schrägen Wurf eine parabelförmige Bewegung.
  Also entspricht die Bahnkurve einer nach unten geöffneten Parabel.

  Eine Parabel ist symmetrisch.
  Falls die Abwurfhöhe auf der x-Achse liegt, also $y=0$ für $t=0$ gilt, dann liegt das Maximum genau in der Mitte.

  Es liegt dann bei $\frac{t_{Flug}}{2}$ oder auch bei $\frac{s_x}{2}$. Dies ist dasselbe und hängt von der verwendeten Formel ab.

  Bei $s_y(t)=v_0 \cdot sin{(\alpha)} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}$ wird $t=\frac{t_{Flug}}{2}=\frac{v_0 \cdot sin{(\alpha)}}{g}$ eingesetzt.

  Es folgt:
  $\begin{align} s_y(t) &=v_0 \cdot sin{(\alpha)} \cdot \frac{t_{Flug}}{2} - \frac{g \cdot (\frac{t_{Flug}}{2})^2}{2} \\ &=v_0 \cdot sin{(\alpha)} \cdot \frac{v_0 \cdot sin{(\alpha)}}{g} - \frac{g \cdot ( \frac{v_0 \cdot sin{(\alpha)}}{g})^2}{2} \\ &= \frac{v_0^2 \cdot sin{(\alpha)}^2}{g}^-\frac{v_0^2 \cdot sin{(\alpha)}^2}{2 \cdot g} \\ &= \frac{v_0^2 \cdot sin{(\alpha)}^2}{2 \cdot g} \end{align} $

  Soll die halbe Flugstrecke $\frac{s_x}{2}$ genutzt werden, dann muss zuerst die Höhe in Abhängigkeit von x berechnet werden.

  Es gibt noch eine zweite Möglichkeit. Dabei wird die Kurvendiskussion der Mathematik genutzt, um das Maximum der Funktion zu ermitteln.
  Diese Methode funktioniert auch bei einer Abwurfhöhe ungleich null.
  Es muss in die Funktion $s_y(t)$ dann die Abwurfhöhe $s_{y0}$ mit einbezogen werden.