Inertialsysteme und beschleunigte Bezugssysteme – Galilei-Transformation

Inertialsysteme und beschleunigte Bezugssysteme – Galilei-Transformation Übung

• Beschreibe, was man unter Inertialsystemen versteht.

  Tipps

  Welche Eigenschaften zeichnen ein Inertialsystem aus?

  Welche Prinzipien und Gesetzmäßigkeiten gelten für verschiedenen Inertialsysteme?

  Lösung

  Eine weitere Schlussfolgerung aus den Eigenschaften von Inertialsystemen ist, dass es gleichgültig ist, welches Inertialsystem als Bezugspunkt für Beobachtungen und Messungen gewählt wird. Egal, auf Basis welchen Inertialsystems ich argumentiere, die Ergebnisse sind identisch.

  Es bedeutet auch, dass es kein bevorzugtes Inertialsystem gibt. Alle Systeme sind gleichwertig und deren Koordinaten können mit Hilfe der Galilei-Transformation ineinander umgerechnet werden. Welchen Ausgangspunkt man wählt, ist also egal. Man muss nur aufpassen, dass es sich tatsächlich um ein Inertialsystem handelt.

• Verdeutliche die Unterschiede zwischen Inertialsystemen und beschleunigten Bezugssystemen.

  Tipps

  Ergänze zunächst den Tabellenkopf, dann die fehlenden Eigenschaften links in der Tabelle.

  Das Trägheitsprinzip ist eine Aussage der Newtonschen Axiome.

  Was meint der Begriff Scheinkraft genau?

  Lösung

  In Inertialsystemen gelten die Newtonschen Axiome. Das bedeutet, es gilt das Trägheitsprinzip (1. Newtonsches Axiom), die Beschleunigung von Körpern im Inertialsystem erfolgt durch eine Kraft $F=m\cdot a$ gemäß dem 2. Newtonschen Axiom (Aktionsprinzip) und zu jeder Kraft gibt es eine Gegenkraft (3. Newtonsches Axiom, Wechselwirkungsprinzip). Daraus folgt, dass es in Inertialsystemen keine Scheinkräfte gibt. Darüber hinaus kann die Galilei-Transformation zwischen Inertialsystemen angewendet werden.

  In beschleunigten Bezugssystemen hingegen gelten die Newtonschen Axiome nicht. Es treten Scheinkräfte auf, also Kräfte, die keine Gegenkraft besitzen. Dazu gehören die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft. Die Galilei-Transformation ist auf beschleunigte Bezugssysteme nicht anwendbar, da sie sich nicht wie Inertialsysteme mit konstanten Relativgeschwindigkeiten zueinander bewegen.

• Beurteile, bei welchen Bezugssystemen es sich um beschleunigte Bezugssysteme handelt.

  Tipps

  Lege gedanklich in den Mittelpunkt jedes Körpers ein Koordinatensystem.

  Entscheide, ob sich das Koordinatensystem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt oder nicht.

  Bei der Geschwindigkeit muss neben der Betragsänderung gegebenenfalls auch die Richtungsänderung berücksichtigt werden.

  Lasse dein Wissen über Scheinkräfte in die Entscheidung mit einfließen.

  Lösung

  Jeder der genannten Körper ist die Basis für ein eigenes Bezugssystem. Man stellt sich vor, dass man in den Körper, am besten in dessen Mitte, den Ursprung eines Koordinatensystems legt. Dieses bewegt sich mit dem Körper mit.

  Körper, die sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegen, sind die Basis für Koordinatensysteme, die Inertialsysteme sind. In diesen Beispielen treffen diese beiden Bedingungen nur auf den Kometen im All und das fahrende Schiff zu.

  Alle anderen Fälle sind Beispiele für beschleunigte Bezugssysteme. Ein fallender Stein wird durch die Erdanziehungskraft beschleunigt, eine Rakete durch ihren Antrieb und das Auto wird abgebremst (also negativ beschleunigt). Die Erde selbst ist ein rotierendes Bezugssystem. Dort treten Scheinkräfte wie die Corioliskraft auf.

  Aber kann man Bezugssysteme wie das gleichförmig geradlinig fahrende Schiff, die sich selbst auf in einem rotierenden Bezugssystem wie der Erde befinden, überhaupt als Inertialsysteme bezeichnen? Ja, das ist möglich, weil die Rotationsbewegung der Erde im Vergleich zur Bewegung des Inertialsystems in der Regel vernachlässigt werden kann. Auch die Rakete beispielsweise befindet sich im rotierenden System der Milchstraße.

• Analysiere die Bewegung eines Fahrrads aus der Sicht eines ruhenden Beobachters.

  Tipps

  Welche Art von Bezugssystemen liegt hier vor?

  Welche Gesetzmäßigkeit kann zum Umrechnen der Koordinaten angewendet werden?

  Albert befindet sich in seinem Bezugssystem dauerhaft im Ursprung. Im Bezugssystem des Baumes bewegt er sich hingegen.

  Wie lauten die Koordinaten $x`,~y`,~z`,~t`$ von Albert in seinem eigenen Bezugssystem?

  Wie können diese Koordinaten in Koordinaten des Bezugssystems Baum umgerechnet werden?

  Lösung

  Hier liegt eine Bewegung von zwei Inertialsystemen vor, die sich mit der Geschwindigkeit v voneinander wegbewegen. Daher kann die Galilei-Transformation angewendet werden.

  Bei der Bewegung von Albert im Bezugssystem Baum ändert sich nur die x-Koordinate. Da sich Albert vom Ursprung des Koordinatensystems Baum fortbewegt, wird diese nach der Galilei-Transformation wie folgt berechnet: $x=x`+v\cdot t`=0~m+3\frac ms\cdot 5~s=15~m$. Alle anderen Koordinaten sind in beiden Systemen identisch.

  Die Bewegung von Albert aus Sicht des Bezugssystems Baum ist im Diagramm durch eine rote Ursprungsgerade dargestellt.

• Gib an, was die beiden Beobachter beim Tischtuchtrick jeweils sehen.

  Tipps

  Wo befindet sich das beschleunigte Bezugssystem?

  Wer befindet sich in diesem Bezugssystem? Weiß er das?

  Die Wirkung welcher Kräfte kann er dabei beobachten?

  Lösung

  In diesem Beispiel wird das Wegziehen des Blattes aus zwei unterschiedlichen Perspektiven betrachtet.

  Der Beobachter von außen zieht das Papierblatt weg, das Wasserglas selbst steht für ihn nach wie vor an derselben Stelle. Ursache dafür ist die hohe Trägheit des Wasserglases. Die Papierblattlaus selbst ist jedoch nicht so träge, sie bleibt auf dem Papier für den Beobachter an derselben Stelle sitzen. Für den Beobachter bewegt sich somit die Laus mit dem Papier vom Wasserglas weg.

  Die ruckartige Bewegung des Papiers ist eine beschleunigte Bewegung, darum ist das Papier selbst auch ein beschleunigtes Bezugssystem. Befindet man sich selbst in diesem Bezugssystem wie die Papierblattlaus, so kann man die Wirkung von Scheinkräften beobachten. In diesem Fall bewirkt die Scheinkraft aus Sicht der Papierblattlaus eine Bewegung des Glases.

  Wenn man nicht weiß, dass man sich selbst in einem beschleunigten Bezugssystem befindet, können die beobachteten Bewegungen von Körpern seltsam erscheinen. Für die (allerdings auch fiktive) Papierblattlaus muss die Bewegung des Wasserglases wie Zauberei erscheinen, da sie die Ursache nicht ausmachen kann.

• Erkläre die Beobachtungen beim Kugelexperiment.

  Tipps

  Ziehe Parallelen zum Tischtuchtrick aus dem Video.

  Lösung

  In diesem Experiment kann das Bewegen des Skateboards aus zwei unterschiedlichen Perspektiven betrachtet werden.

  Ein außenstehender Beobachter betrachtet von seinem Inertialsystem aus die Bewegungen von Skateboard und Metallkugel. Der Beobachter von außen sieht das Skateboard ein Stück wegfahren, die Metallkugel selbst befindet sich für ihn nach wie vor an derselben Stelle. Sie hat aufgrund ihrer Trägheit ihre Position nicht verändert. Das heißt, sie liegt immer noch an derselben Stelle im Raum, lediglich das Skateboard hat sich ein Stück unter ihr wegbewegt.

  Die ruckartige Bewegung des Skateboards ist eine beschleunigte Bewegung, darum ist das Skateboard selbst auch ein beschleunigtes Bezugssystem. Befindet man sich selbst in diesem Bezugssystem, so kann man die Wirkung von Scheinkräften beobachten. In diesem Fall bewirkt die Scheinkraft aus Sicht eines Beobachters auf dem Skateboard eine Bewegung der Metallkugel. Diese Scheinkraft wirkt beschleunigend und verändert die Position der Kugel auf dem Skateboard.

  Wenn man nicht weiß, dass man sich selbst in einem beschleunigten Bezugssystem befindet, können die beobachteten Bewegungen von Körpern seltsam erscheinen. Die Bewegung der Metallkugel kann wie Zauberei erscheinen, weil man dann die Ursache nicht ausmachen kann.