Die Differenzialrechnung spielt in der Kinematik eine zentrale Rolle, um die Bewegung von Objekten mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.
Ort und Geschwindigkeit
Der Ort $s(t)$ eines Objekts beschreibt seine Position in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Die Geschwindigkeit $v(t)$ entspricht der zeitlichen Änderung der Position und wird aus mathematischer Sicht durch die Ableitung nach der Zeit dargestellt:
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts ist. In einem $s$-$t$-Diagramm entspricht die Geschwindigkeit der Steigung des Graphen. Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich aufgrund des linearen Verhaltens die Steigung im Steigungsdreieck ablesen.
Die Ableitungen nach der Zeit sowie bei der Geschwindigkeit $v(t) = \dot{s}(t)$ werden in der Physik mit einem Punkt über der physikalischen Größe gekennzeichnet. Diese betonen noch einmal, dass die Variable, nach der abgeleitet wird, die Zeit $t$ ist.
Beschleunigung
Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit eines Objekts mit der Zeit ändert.
Die Beschleunigung $a(t)$ ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und damit die zweite Ableitung des Orts:
Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. In einem $s$-$t$-Diagramm ist das die Steigung der Tangente, die die Ortskurve $s(t)$ an einem bestimmten Zeitpunkt berührt. Für ungleichmäßige und nicht lineare Bewegungen, bei denen die Geschwindigkeit nicht konstant ist, ändert sich die Steigung der Kurve im $s$-$t$-Diagramm kontinuierlich.
Schiefer Wurf
Ein klassisches Beispiel in der Kinematik ist der schiefe Wurf, bei dem ein Objekt unter dem Einfluss der Schwerkraft in einer parabolischen Bahn geworfen wird.
Bewegungsgleichungen
Die folgenden zwei Bewegungsgleichungen beschreiben die horizontale Bewegung in $x$-Richtung und die vertikale Bewegung in $y$-Richtung:
$x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t $
$ y(t) = v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot t^2 $
Hierbei ist $v_0 $ die Anfangsgeschwindigkeit, $\alpha$ der Abwurfwinkel und $g$ die Erdbeschleunigung.
Herleitung der Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die horizontale Geschwindigkeit $(v_x(t))$ bleibt konstant:
Da keine Kräfte in horizontaler Richtung wirken und die Geschwindigkeit sich nicht ändert, ist die horizontale Beschleunigung gleich null. Es gilt also $a_x (t) = 0$. Die vertikale Beschleunigung ist:
$a_y(t) = \dfrac{\text{d}v_y(t)}{\text{d}t} = -g$
Die maximale Höhe $h$ und die Flugzeit $T$ können ebenfalls berechnet werden, wenn die Bewegungsgleichung in $y$-Richtung $s_y (t)$ auf ihre Nullstellen und Extrempunkte analysiert wird.
Grafische Darstellung
In einem $s$-$t$-Diagramm für den schiefen Wurf ergibt sich eine Parabel für die vertikale Bewegung. Die Steigung der Tangente zu jedem Zeitpunkt gibt die Momentangeschwindigkeit an und die Krümmung der Kurve gibt die Beschleunigung an.
Zusammenfassung – Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit
Die Konzepte der Differenzialrechnung lassen sich auch in der Kinematik wiederfinden. Die physikalischen Größen des Orts, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung hängen alle über der Änderung der Zeit zusammen.
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderung des Orts. Im Sinne der mathematischen Ableitung schreiben wir:
Die Differenzialrechnung in der Kinematik beschreibt, wie sich der Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Objekts ändern. Sie verwendet Ableitungen, um die Momentangeschwindigkeit und die Momentanbeschleunigung zu berechnen.
Die Geschwindigkeit $v(t)$ ist die erste Ableitung des Orts $s(t)$ nach der Zeit $t$: $v(t) = \dfrac{\text{d}s(t)}{\text{d}t}$. Dies gibt die Änderungsrate des Orts an.
Das zweite newtonsche Axiom besagt, dass die Kraft $F$ auf ein Objekt gleich dem Produkt aus seiner Masse $m$ und der Beschleunigung $a$ ist: $F = m \cdot a$. Es verbindet die Konzepte der Kraft und der Beschleunigung.
Die vertikale Bewegung beim schiefen Wurf wird durch die Gleichung ${y(t) = v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \dfrac{1}{2} g t^2}$ beschrieben, wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit, $\alpha$ der Abwurfwinkel und $g$ die Erdbeschleunigung ist.
Die Steigung der Tangente in einem $s$-$t$-Diagramm zeigt die Momentangeschwindigkeit des Objekts an. Je steiler die Tangente, desto größer ist die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt.
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