Reihenschaltung von Spule, Kondensator und Ohm'schen Widerstand

Reihenschaltung von Spule, Kondensator und Ohm'schen Widerstand Übung

• Gib die Formel zur Berechnung der gesamten Spannung $U_0$ im Wechselstromkreis an.

  Tipps

  Die Einheit einer Spannung ist $[V]$.

  Es ergibt sich je ein Anteil der Gesamtspannung an jedem Bauteil im Stromkreis.

  Lösung

  Um die Spannung für die Reihenschaltung von Ohm'schem Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis korrekt zu bestimmen, müssen alle diese Anteile berücksichtigt werden.

  Es gilt der in der Formel angegebene Zusammenhang.

  Dabei bezeichnet $U_R$ die Spannung, welche am Ohm'schen Widerstand abfällt. Die Spannung $U_L$ bezieht sich auf die Spannung, die infolge der Induktion der Spule abfällt. Der letzte Anteil der Spannung ergibt sich aus der abfallenden Spannung am Kondensator $U_C$.

  Die Einheit der Teilspannungen ist $V$ . Es muss sich also ebenfalls $V$ für die Zielgröße $U_0$ ergeben: $\sqrt{V^2 + V^2} = [V]$.

• Erkläre den Begriff „Siebkreis".

  Tipps

  Im Rahmen dieser Aufgaben sollen Wechselströme betrachtet werden.

  Lösung

  Eine Reihenschaltung aus Spule und Kondensator wird auch als Siebkreis bezeichnet. Mit einer solchen Schaltung kann eine bestimmte Resonanzfrequenz $f_0$ aus einem Wechselstrom herausgesiebt werden.

  Anders ausgedrückt: Nur Wechselströme mit bestimmter Resonanzfrequenz bleiben von der Reihenschaltung unbeeinflusst. Aus der gesamten Bandbreite der Frequenzen wird somit ein schmales Profil herausgefiltert und der Stromkreis kann somit optimiert werden.

• Berechne die Gesamtspannung.

  Tipps

  $U_R$ ist die Teilspannung am Ohm'schem Widerstand $R$.

  $U_L$ bezieht sich auf den Anteil, der an der Spule $L$ messbar ist.

  $U_0 = \sqrt{U_R^2 +(U_L-U_C)^2}$

  Lösung

  Die gesamte Spannung im Wechselstromkreis ergibt sich mit der gezeigten Formel.

  Darin ist $U_R$ die Teilspannung am Ohm'schem Widerstand $R$. Die Teilspannung $U_L$ bezieht sich auf den Anteil, der an der Spule $L$ messbar ist. Der dritte Teil besteht aus dem kapazitivem Widerstand $R_c$. Hier ist der Anteil der Spannung $U_C$ messbar.

  Betrachten wir nun die Rechnung genauer: Ein Wechselstromkreis besteht auf einem Ohm'schen Widerstand, an dem eine Spannung von $U_R=4V$ abfällt, einem induktiven Widerstand, an dem eine Spannung von $U_L=7V$ gemessen wird, und einem kapazitiven Widerstand mit $U_C = 21 V$. Einsetzen liefert $U_0 = \sqrt{U_R^2 +(U_L-U_C)^2} = \sqrt{4V^2 +(7V-21V)^2} = 14,56 V$.

• Bestimme den Scheinwiderstand $Z$.

  Tipps

  Alternativ wird der Scheinwiderstand auch als Wechselstromwiderstand oder Impedanz bezeichnet.

  Die Einheit des Scheinwiderstandes ist $\Omega$, so wie auch bei einem kapazitiven, Ohm'schen oder induktiven Widerstand.

  $Z = \sqrt{R^2 +(X_L-X_C)^2}$

  Lösung

  Mit $Z$ wird in der Regel der Scheinwiderstand bezeichnet. Alternativ wird dieser auch als Wechselstromwiderstand oder Impedanz bezeichnet.

  Diese gibt das Verhältnis von Strom zu Spannung an einem Verbraucher an. Nach dem Ansatz $ R = \frac{U}{I} $ ergibt sich aus diesem Verhältnis ein elektrischer Widerstand. Tatsächlich ist die Einheit des Scheinwiderstandes $\Omega$, so wie auch bei einem kapazitiven, ohm'schen oder induktiven Widerstand.

  Betrachten wir ein Beispiel: Es seien $R =9,4\Omega$ $X_L = 34,6 \Omega$ und $X_C=11,2 \Omega$ gegeben. $R$ entspricht dem Ohm'schen Widerstand, $X_C$ dem kapazitiven Widerstand und $X_L$ dem induktiven Widerstand.

  Einsetzen in $Z = \sqrt{R^2 +(X_L-X_C)^2}$ liefert nun $Z = \sqrt{R^2 +(X_L-X_C)^2} = Z = \sqrt{(9,4 \Omega)^2 +(34,6 \Omega-11,2 \Omega)^2} = 25,22 \Omega$.

  Der Scheinwiderstand der Schaltung beträgt somit $Z = 25,22 \Omega$.

• Bezeichne die elektrotechnischen Bauteile.

  Tipps

  Bei der Bestimmung der Gesamtspannung am Stromkreis müssen diese drei Widerstände berücksichtigt werden.

  Die Kapazität ist ein Kennwert für einen Kondensator.

  Lösung

  Die elektrotechnischen Bauteile in dieser Grafik sind ein Ohm'scher Widerstand, eine Spule und ein Kondensator.

  Links im Bild befindet sich der Kondensator. Dieser stellt den kapazitiven Widerstand dar.

  In der Mitte befindet sich die Spule, welche auch als induktiver Widerstand bezeichnet wird, da an der Spule Induktion auftritt.

  Auf der rechten Seite der Grafik ist ein Verbraucher abgebildet. Dieser ist einem Ohm'schen Widerstand äquivalent.

  Diese drei unterschiedlichen Bauteile stellen einen Widerstand im Wechselstromkreis dar und müssen etwa bei der Berechnung der gesamten Spannung berücksichtigt werden.

• Berechne die Kreisfrequenz.

  Tipps

  Die Einheit der Induktivität ist das Henry $[H]$.

  Die Einheit der Kapazität ist dabei $[F$] Farad.

  $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

  Lösung

  Um die Resonanzfrequenz aus den Eigenschaften der Bauteile des Wechselstromkreises zu bestimmen, müssen wir die gezeigte Formel nutzen.

  Darin ist $C$ die Kapazität des kapazitiven Widerstandes (Kondensator). Die Einheit der Kapazität ist dabei $[F$] Farad. Mit $L$ wird die Induktivität der Spule in die Rechnung implementiert. Die Einheit der Induktivität ist das Henry $[H]$.

  Sio ergibt sich nach $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ für $L = 7,87 \cdot 10^{-5} H$ $C= 9,6 \cdot 10^{-6} F$:

  $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{7,87 \cdot 10^{-5} H \cdot 9,6 \cdot 10^{-6} F}} = 5,79 \cdot 10^3 Hz$.

  Die Resonanzfrequenz beträgt hier $f_0 = 5,79 kHz$.