Wechselstromwiderstand

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Heute geht es, wieder aus dem Gebiet Schwingungen und Wellen, um den Wechselstromwiderstand. Für  dieses Video solltet ihr auf jeden Fall schon den Film zum Wechselstrom gesehen haben. Wir lernen heute, wie der Wechselstromwiderstand definiert ist und dann wollen wir für mehrere Bauelemente sowohl die Formel herleiten, als auch den Spannungs-Strom-Verlauf zeigen. Und zwar für den ohmschen Widerstand, den Kondensator und die Spule. Der Wechselstromwiderstand, für den man den Buchstaben Z verwendet, ist definiert als der Quotient von Scheitelspannung und Scheitelstrom. Er wird auch Impedanz genannt. Z ist also Scheitelspannung durch Scheitelstrom und das ist, wenn es sich um eine sinusförmige Wechselstromspannung handelt, (Ueff×\sqrt2)/(Ieff×\sqrt2). Die Wurzeln kürzen sich weg und ich bekomme Ueff/Ieff. So, dann wollen wir uns einmal an den Wechselstromwiderstand oder Impedanz, eines ohmschen Widerstand wagen. Wir betrachten eine sinusförmige Wechselspannung. Da ist U(t)=Scheitelspannung×sin(ωt+φu). φu ist die Phase der Spannung. I(t)=der Scheitelstrom×sin(ωt+φI) und φI ist die Phase des Stroms. Das Ohm'sche Gesetz sagt uns U(t)=R×I(t). Ich kann also schreiben: Scheitelspannung×sin(ωt+φu)=R×Scheitelstrom×sin(ωt+φI). Man sieht direkt: die Scheitelspannung ist R×der Scheitelstrom. Ich kann also schreiben: Z entspricht dem ohmschen Widerstand R und ist Scheitelspannung geteilt durch Scheitelstrom. φu=φI. Das bedeutet, Strom und Spannung haben die gleiche Phase. Ihr Verlauf sieht also so aus wie im Bild rechts. Als Nächstes wollen wir uns die Impedanz eines Kondensators im Wechselstromkreislauf ansehen. Man nennt dies auch einen kapazitiven Widerstand. Die von unserer Spannungsquelle bereitgestellte Wechselspannung hat wieder die Form U(t)=Scheitelspannung×sin(ωt+φu) und ist beim Kondensator=Q(t)/Kapazität C. Das leiten wir jetzt nach der Zeit ab, warum seht ihr gleich,  und wir erhalten Scheitelspannung×ω×cos(ωt+φu)=QPunkt/C. QPunkt, also die zeitliche Ableitung der Ladung, ist aber nun genau der Strom. Daher können wir schreiben: I(t)=Scheitelspannung×ω×C×cos(ωt+φu). Da der Kosinus ein um +π/2 verschobener Sinus ist, formen wir das noch ein letztes mal um und erhalten: I(t)=Scheitelspannung×Kreisfrequenz×Kapazität×sin(ωt+φu+π/2). Mein Scheitelstrom ist also: Scheitelspannung×ω×C und die Phase meines Stroms φI=φu+π/2. Damit kann ich schreiben: Mein Wechselstromwiderstand Z=Scheitelspannung/Scheitelstrom=1/ωC. Je größer die Kapazität, oder je größer die Frequenz des Stroms ist, desto kleiner wird also mein Wechselstromwiderstand. Die Phase des Stroms φI=φu+π/2. Das bedeutet: Der Strom eilt der Spannung um π/2 voraus. Das ergibt einen Strom- und Spannungsverlauf, wie ihr ihn im Bild rechts sehen könnt. Als Letztes wollen wir uns nun den Wechselstromwiderstand einer Spule ansehen. Man nennt dies auch einen induktiven Widerstand. Wir wissen die Spannung zum Zeitpunkt t=sin(ωt+φu) oder L×IPunkt. Daher kann ich auch schreiben IPunkt=Scheitelspannung/Induktivität der Spule×sin(ωt+φu). Nun muss ich also eine Gleichung für I von t finden, die abgeleitet IPunkt ergibt. Die Lösung ist folgende Gleichung - ihr könnt es durch ableiten selbst nachprüfen: I(t)=-Scheitelspannung/ω×L×cos(ωt+φu). Der negative Kosinus ist nichts anderes, als ein um -π/2 verschobener Sinus. Damit forme ich also noch mal um und erhalte: I(t)=jetzt  +Scheitelspannung/ωL×sin(ωt+φu-π/2). Und daran kann ich jetzt sehen, mein Scheitelstrom ist also die Scheitelspannung/ωL und die Phase meines Stroms φI=φu-π/2. Der Wechselstromwiderstand Z der Spule ist also wie immer  Scheitelspannung/Scheitelstrom und das ergibt ω×L. Je größer also die Kreisfrequenz und je größer die Induktivität der Spule, desto größer ist der Wechselstromwiderstand. Die Phase des Stroms φI=φu-π/2. Der Strom hinkt der Spannung um π/2 hinterher. Und wie das aussieht, könnt ihr rechts im Bild sehen. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Für den Wechselstromwiderstand, den man auch Impedanz nennt, verwendet man den Buchstaben Z und er ist definiert als Quotient von Scheitelspannung und Scheitelstrom. Beim ohmschen Widerstand ist Z gleich dem Gleichstromwiderstand R und Strom und Spannung sind in Phase. Beim Kondensator ist Z=1/Kreisfrequenz×Kapazität und der Strom eilt der Spannung um π/2 voraus. Bei einer Spule ist Z=Kreisfrequenz×Induktivität und der Strom hinkt der Spannung um π/2 hinterher. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.