Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Ohm'schen Widerstand

Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Ohm'schen Widerstand Übung

• Beschrifte das Zeigerdiagramm bei Parallelschaltung der genannten Widerstände.

  Tipps

  Für einen Ohmschen Widerstand sind Spannung und Stromstärke in Phase. In welche Richtung muss dann $I_R$ zeigen, wenn $U$ nach rechts zeigt?

  Bei einem kapazitiven Widerstand ist die Stromstärke $I_C$ um $+\dfrac{\pi}{2}$ gegenüber der Spannung verschoben.

  Bei einem induktiven Widerstand ist die Stromstärke $I_L$ um $-\dfrac{\pi}{2}$ gegenüber der Spannung verschoben.

  $\dfrac{\pi}{2}$ entsprechen einem Winkel von $90^\circ$.

  Lösung

  In einer Parallelschaltung von drei Widerständen ist die Spannung an jedem Widerstand gleich.

  Deswegen wird die Spannung im Zeigerdiagramm als Bezugsgröße gewählt.
  Der Zeiger für die Spannung wird nach rechts eingetragen.

  Bei einem Ohmschen Widerstand $R$ sind Stromstärke und Spannung in Phase. Das heißt, sie zeigen in die gleiche Richtung.
  Darum muss der Zeiger für die Stromstärke $I_R$ ebenfalls nach rechts eingetragen werden.

  Bei einem kapazitivem Widerstand $X_C$ ist die Stromstärke um $+\dfrac{\pi}{2}$ gegenüber der Spannung verschoben.
  $\dfrac{\pi}{2}$ entsprechen $90^\circ$. Das Plus sagt aus, dass der Zeiger gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird.
  Darum muss der Zeiger $I_C$ nach oben zeigen.

  Bei einem induktivem Widerstand $X_L$ ist die Stromstärke um $-\dfrac{\pi}{2}$ gegenüber der Spannung verschoben.
  Das Minus steht dafür, dass der Zeiger im Uhrzeigersinn gedreht wird.
  Darum muss der Zeiger $I_L$ nach unten zeigen.

  Zeiger können wie Vektoren addiert werden. Somit ergibt sich ein Dreieck aus $I_R$ und $I_C-I_L$ und die Gesamtstromstärke $I$

• Benenne Formeln zur Berechnung des Scheinwiderstandes $Z$.

  Tipps

  Aus dem Zeigerdiagramm für die reziproken Widerstände kann die Formel für den Scheinwiderstand $Z$ hergeleitet werden.

  Betrachte dazu das Zeigerdiagramm für die reziproken Widerstände im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras.

  Der kapazitive Widerstand kann auch mit Hilfe von Kreisfrequenz $\omega$ und Kapazität $C$ des Kondensators dargestellt werden.

  Der induktive Widerstand kann auch mit Hilfe von Kreisfrequenz $\omega$ und Induktivität $L$ der Spule dargestellt werden.

  Lösung

  Es wird das Zeigerdiagramm für die Ströme $I_C$, $I_R$, $I_L$ und die resultierende $I$ aufgestellt. Als Bezugsgröße dient die Spannung $U$.
  Diese ist an allen Widerständen gleich.

  Teil man die Ströme durch die Spannung, ergibt sich das Zeigerdiagramm für die reziproken Widerstände $\frac{1}{R}$, $\frac{1}{X_C}$ und $\frac{1}{X_L}$. Die Resultierende entspricht dann dem reziproken Scheinwiderstand $\frac{1}{Z}$.

  Es ist nun ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Formel für $\frac{1}{Z}$ aufgestellt werden:

  $\frac{1}{Z}= \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \frac{1}{X_C}- \frac{1}{X_L})^2}$.

  Diese kann leicht nach $Z$ umgestellt werden:

  \begin{align} && \frac{1}{Z}&= \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \frac{1}{X_C}- \frac{1}{X_L})^2} &|&\cdot Z \\ &\leftrightarrow& 1&= \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \frac{1}{X_C}- \frac{1}{X_L})^2} \cdot Z &|& \div \sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \frac{1}{X_C}- \frac{1}{X_L})^2} \\ &\leftrightarrow& Z &= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \frac{1}{X_C}- \frac{1}{X_L})^2}} \end{align}

  Die Widerstände $X_C$ und $X_L$ können auch anders dargestellt werden:
  Der kapazitive Widerstand kann auch mit Hilfe von Kreisfrequenz $\omega$ und Kapazität $C$ des Kondensators dargestellt werden. Es gilt
  $X_C=\frac{1}{\omega \cdot C}$.
  Der induktive Widerstand kann auch mit Hilfe von Kreisfrequenz $\omega$ und Induktivität $L$ der Spule dargestellt werden. Hierbei gilt:
  $X_L=\omega \cdot L$.

  Setzt man diese beiden Formeln in die oben hergeleitete ein, dann folgt: $Z= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + ( \omega \cdot C- \frac{1}{\omega \cdot L})^2}}$.

• Berechne den Gesamtwiderstand $Z$ für die gegebenen Werte.

  Tipps

  Es ist kein induktiver Widerstand vorhanden. Wie groß ist dann $X_L$?

  Da wir keinen Widerstand $X_L$ haben, entfällt der Bruch $- \dfrac{1}{X_L}$.

  Widerstände werden in $\Omega$ angegeben. Welche Einheit muss der Gesamtwiderstand $Z$ dann haben?

  Lösung

  Da kein induktiver Widerstand vorhanden ist, fällt der Summand $\dfrac{1}{X_L}$ in der Formel zur Berechnung von $Z$ weg.

  Es bleibt über:
  $Z= \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2} + ( \dfrac{1}{X_C} )^2}}$
  und damit
  $Z= \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2} + \dfrac{1}{X_C^2}}}$.

  Werden dort alle gegebenen Größen eingesetzt, dann erhält man den Gesamtwiderstand $Z$. Dieser hat die Einheit $\Omega$.

  Der Gesamtwiderstand wird auch Impedanz oder Scheinwiderstand genannt.

• Berechne den Scheinwiderstand $Z$ für die gegebenen Werte.

  Tipps

  Entnehme die gegebenen Werte aus dem Bild.

  Entnehme die gegebenen Werte aus der Zeichnung. Welches Bauteil steht für welchen Widerstand?

  Setze die gegebenen Werte in die Formel ein, um den Scheinwiderstand $Z$ zu erhalten.

  Der Scheinwiderstand entspricht dem Gesamtwiderstand.

  Lösung

  Es wird die Formel
  $Z= \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2} + ( \dfrac{1}{X_C}- \dfrac{1}{X_L})^2}}$
  genutzt.

  Diese kann leicht aus einem Zeigerdiagramm hergeleitet werden.
  Dazu wird das Zeigerdiagramm für die Ströme $I_C$, $I_R$, $I_L$ und die resultierende $I$ aufgestellt. Als Bezugsgröße dient die Spannung $U$.
  Diese ist an allen Widerständen gleich.

  Teil man die Ströme durch die Spannung, ergibt sich das Zeigerdiagramm für die reziproken Widerstände $\dfrac{1}{R}$, $\dfrac{1}{X_C}$ und $\dfrac{1}{X_L}$. Die Resultierende entspricht dann dem reziproken Scheinwiderstand $\dfrac{1}{Z}$.

  Es ist nun ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Formel für $\frac{1}{Z}$ aufgestellt werden:

  $\dfrac{1}{Z}= \sqrt{\dfrac{1}{R^2} + ( \dfrac{1}{X_C}- \dfrac{1}{X_L})^2}$

  Diese kann leicht nach $Z$ umgestellt werden, so dass die oben genannte Formel erhalten wird.

  Wenn dort die gegebenen Größen eingesetzt werden, wird das gesuchte Ergebnis erhalten.

  $Z= \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{15^2\Omega} + (\dfrac{1}{10\Omega}- \dfrac{1}{5\Omega})^2}}\approx 8,32\Omega$

  Die gegebenen Größen können aus dem Bild abgelesen werden. Hierbei ist $R$ der ohmsche Widerstand.
  $X_L$ entspricht dem induktiven Widerstand. $X_C$ entspricht dem kapazitivem Widerstand.

• Erkläre, was die genannten Zeichen angeben.

  Tipps

  Die Impedanz ist dasselbe wie der Scheinwiderstand und beschreibt den Gesamtwiderstand.

  Eine Spule ist ein induktiver Widerstand. Welches Formelzeichen wird dafür verwendet?

  Ein Kondensator ist ein kapazitiver Widerstand. Auf Englisch heißt Kondensator capacitor. Welchen Buchstaben könnte man dann wählen?

  Lösung

  Eine Spule ist ein induktiver Widerstand. Für eine Spule wird im Allgemeinen der Buchstabe $L$ verwendet.

  Ein Kondensator ist ein kapazitiver Widerstand. Kondensator heißt auf Englisch capacitor, deswegen wird im Allgemeinen der Buchstabe $C$ verwendet.

  In der Physik steht $R$ immer für einen ohmschen Widerstand. Der Kehrwert $\frac{1}{R}$ wird auch Leitwert genannt und mit $G$ bezeichnet.

  Der Gesamtwiderstand, der sich mit Hilfe eines Zeigerdiagramms ermitteln lässt, entspricht dem Scheinwiderstand. Dieser wird mit $Z$ bezeichnet und auch Impedanz genannt.

• Erkläre die Funktionsweise eines Sperrkreises.

  Tipps

  Zwischen Spannung, Strom und Widerstand besteht allgemein dieser Zusammenhang. Wann wird der Strom minimal?

  Das Ergebnis eines Bruches wird maximal, wenn sein Nenner minimal wird.

  Lösung

  Es wird die Formel für den Scheinwiderstand $Z$ genutzt: $Z= \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2} + ( \dfrac{1}{X_C}- \dfrac{1}{X_L})^2}}$

  In dieser wird
  $X_C=\dfrac{1}{\omega \cdot C}$ und
  $X_L=\omega \cdot L$ eingesetzt.

  Dann erhält man $Z$ in Abhängigkeit von $R$, $\omega$, der Kapazität $C$ des Kondensators und der Induktivität $L$ der Spule.
  $Z= \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2} + ( \omega \cdot C- \dfrac{1}{\omega \cdot L})^2}}$

  Der Scheinwiderstand muss nun maximiert werden.

  Ein Bruch wird maximal, wenn sein Nenner minimal wird.
  Deswegen wird der Scheinwiderstand $Z$ maximal, wenn der Faktor
  $\sqrt{\dfrac{1}{R^2} +( \omega \cdot C- \dfrac{1}{\omega \cdot L})^2 }$
  minimal wird.

  Das passiert genau dann, wenn $( \omega_0 \cdot C- \dfrac{1}{\omega_0 \cdot L})^2=0$ gilt. Dies ist nur bei einer bestimmten Kreisfrequenz $\omega_0$ der Fall. Die Gleichung kann dann nach $\omega_0$ umgestellt werden. Es folgt
  \begin{align} &&( \omega_0 \cdot C- \frac{1}{\omega_0 \cdot L})^2 &=0 &|& \sqrt{} \\ &\leftrightarrow& \omega_0 \cdot C- \dfrac{1}{\omega_0 \cdot L} &= 0 &|& +\dfrac{1}{\omega_0 \cdot L} \\ &\leftrightarrow& \omega_0 \cdot C&=\dfrac{1}{\omega_0 \cdot L} &|& \div C \\ &\leftrightarrow& \omega_0 &=\dfrac{1}{\omega_0 \cdot L \cdot C} &|& \cdot \omega_0 \\ &\leftrightarrow& \omega_0^2 &=\dfrac{1}{L \cdot C} &|& \sqrt{} \\ &\leftrightarrow& \omega_0 &=\dfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \end{align}

  Mir dieser Kreisfrequenz $\omega_0$ kann auch leicht die dazugehöriger Frequenz $f_0$ berechnet werden: $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2 \cdot \pi}$ .

  Bei dieser Frequenz ist der Widerstand maximal. Es wird fast kein Strom durchgelassen.

  Ein Sperrkreis wird zum Beispiel zur Störunterdrückung in Antennen genutzt. Es wird dort ein Gemisch von Wechselströmen unterschiedlicher Frequenz empfangen.
  Um einen schwachen Sender zu empfangen, wenn man gleichzeitig einen starken Sender empfängt, schaltet man einen Sperrkreis. Damit kann man die Frequenz des starken Senders herausfiltern.