Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis

Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis

In diesem Text wirst du die Reihen- und Parallelschaltung von Spule $(L)$, Kondensator $(C)$ und ohmschem Widerstand $(R)$ im Wechselstromkreis kennenlernen. Die Reihenschaltung wird auch Siebkreis und die Parallelschaltung wird auch Sperrkreis genannt. Warum das so ist, wirst du in diesem Text herausfinden!

Solche Schaltungen finden in der Tontechnik Anwendung. Ohne sie wäre die Bearbeitung von Studioaufnahmen von bekannten Künstlerinnen und Künstlern undenkbar! Bevor wir in die einzelnen Schaltungen schauen, wollen wir einige Formeln, Definitionen und Phänomene klären, die die einzelnen Bauteile bei Wechselstrom beschreiben.

Impedanz

Bei Wechselstromkreisen wird der Widerstand der Bauteile oder auch der gesamten Schaltung Impedanz $Z$ genannt. Der Betrag der Impedanz berechnet sich wie folgt:

$\lvert Z \rvert =\sqrt{R^2 +X^2}$

Dabei ist $R$ der Wirkwiderstand und $X$ der Blindwiderstand.

Aber wie sieht die Impedanz $Z$ für die einzelnen Bauteile in unseren Schaltungen aus?

Ohmscher Widerstand: $\lvert Z_R \rvert = \sqrt{R^2}$

Induktiver Widerstand der Spule: $\lvert Z_L \rvert = \sqrt{R_L^2 +X_L^2}$

Kapazitiver Widerstand des Kondensators: $\lvert Z_C \rvert = \sqrt{X_C^2}$

Die Spule besitzt noch einen realen Wirkwiderstand $R_L$. Der reale Widerstand einer Spule entsteht durch den ohmschen Widerstand des Drahts, aus dem die Spule gewickelt ist. Bei einer idealen Spule wird der reale Widerstand manchmal vernachlässigt. Das kommt aber immer auf die Aufgabe an. Da solltest du aufpassen!

Phasenverschiebung der Bauteile

Im Wechselstromkreis kommt es beim Kondensator und bei der Spule zu einer Phasenverschiebung zwischen der Spannung $U(t)$ und der Stromstärke $I(t)$. Der ohmsche Widerstand $R$ erfährt keine Phasenverschiebung. Die Phasenverschiebungen sind in der Abbildung gezeigt:

Nun wollen wir aber die Phasenverschiebung des Kondensators und der Spule herleiten. Dass der ohmsche Widerstand keine Phasenverschiebung erfährt, wollen wir natürlich auch überprüfen. Die Phasenverschiebung ist für die Bestimmung der Impedanz unserer Reihen- und Parallelschaltung wichtig. Wir müssen also mathematische Ausdrücke für $U(t)$ und für $I(t)$ finden. Dazu nehmen wir an, dass unsere Wechselspannung $U(t)$ sinusförmig ist. Sie lautet somit:

$U(t)=U_0 \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Das hätten wir bereits. Wie wir einen Ausdruck für $I(t)$ finden, wollen wir uns im Folgenden einzeln anschauen.

Phasenbeziehung ohmscher Widerstand

Nach dem ohmschen Gesetz ergibt sich $I(t)$ durch:

$I(t)=\dfrac{U(t)}{R}\cdot \sin(\omega \cdot t)$

Damit erhalten wir:

$I(t)=I_0 \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Wir sehen also, dass sowohl $U(t)$ als auch $I(t)$ proportional zu $\sin(\omega \cdot t)$ sind. Sowohl die Spannung $U(t)$ als auch die Stromstärke $I(t)$ sind in Phase.

Phasenverschiebung Kondensator

Am Kondensator ergibt sich die Ladung des Kondensators mit $Q=C\cdot U$. Setzen wir die Spannung $U(t)$ in diese Gleichung ein, dann erhalten wir:

$Q(t)=C\cdot U_0\cdot \sin(\omega\cdot t)$

Wir wollen nun einen Ausdruck für die Stromstärke finden, damit wir uns die Phasenverschiebung angucken können. Aber die Stromstärke ist ja nichts anderes als die Änderung der Ladung nach der Zeit. Mathematisch formuliert heißt das ${I(t) = \frac{\text{d}}{\text{d}t} Q(t)}$.

Leiten wir also unseren Ausdruck für die Ladung $Q(t)=C\cdot U_0\cdot \sin(\omega \cdot t)$ ab, erhalten wir:

$I(t)=\omega \cdot C \cdot U_0 \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Hier kommt uns jetzt die Definition des Blindwiderstands $X_C=\frac{1}{\omega \cdot C}$ zur Hilfe. Darin steht, dass der Term $\omega \cdot C$ der Kehrwert unseres Blindwiderstands ist. Das heißt, eigentlich steht dort $\frac{U_0}{X_C}$ und eine Spannung geteilt durch einen Widerstand ergibt nach dem ohmschen Gesetz eine Stromstärke $I_0$. Wir erhalten somit für unsere Stromstärke $I(t)$

$I(t)=I_0\cdot \cos(\omega t)=I_0\cdot \sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right) $

Denn es gilt der Zusammenhang $\cos(\omega t)=\sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Das bedeutet, dass die Spannung erst $\dfrac{\pi}{2}$ nach dem Strom zu steigen beginnt.

Phasenverschiebung Spule

Für die Untersuchung der Spule stellen wir uns vor, dass unsere Spule einen Wirk- und einen Blindwiderstand hat. Dann ergibt sich die Spannung $U(t)$ im Stromkreis wie folgt:

$U(t)=U_R+U_L$

Mit dem ohmschen Gesetz ergibt sich für $U_R=I(t)\cdot R$ und die Spannung an einer Spule ist definiert mit ${U_L=- L \cdot \frac{\text{d}I}{\text{d}t}}$. Mit diesen Definitionen erhalten wir:

$U(t)=I(t)\cdot R - L\cdot \dfrac{\text{d}I}{\text{d}t}$

Hier kommt uns an dieser Stelle die Annahme zugute, dass wir eine ideale Spule betrachten. Das bedeutet, dass diese keinen Wirkwiderstand besitzt. Das bedeutet: $R=0$. Die Gleichung vereinfacht sich damit zu:

$U(t) = U_0\cdot \sin(\omega \cdot t)= - L\cdot \dfrac{\text{d}I}{\text{d}t}$

Nun müssen wir die Gleichung nur noch integrieren. Die Induktivität $L$ der Spule ist eine Konstante und darf daher vor das Integral gezogen werden! Außerdem bringen wir sie noch auf die andere Seite der Gleichung. Wir erhalten damit für $I(t)$:

$I(t)=-U_0\cdot \dfrac{1}{\omega \cdot L}\cdot \cos(\omega \cdot t)$

Auch hier hilft uns die Definition des Blindwiderstands der Spule $X_L=\omega \cdot L$. Das heißt, auch hier teilen wir die Spannung $U_0$ wieder durch einen Widerstand und erhalten damit nach dem ohmschen Gesetz die Stromstärke $I_0$. Die Gleichung wird:

$I(t)=-I_0\cdot \cos(\omega \cdot t)=I_0\cdot \sin\left(\omega \cdot t - \dfrac{\pi}{2}\right) $

Denn es gilt der Zusammenhang $-\cos(\omega t)=\sin\left(\omega t - \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Verglichen mit der Formel für die Spannung $U(t)$ steigt die Stromstärke erst um $\frac{\pi}{2}$ nach der Spannung.

Das bedeutet, dass die Spannung an der Spule dem Strom vorauseilt!

RCL-Reihenschaltung (Siebkreis)

Bei der Reihenschaltung werden die Bauteile nacheinander in Reihe geschaltet.

Hier ergibt sich die Spannung aus der Summe der Teilspannungen der einzelnen Bauteile, die, wie wir wissen, gegeneinander phasenverschoben sind. Berechnen kann man sie ganz einfach mit einem Zeigerdiagramm . Wir können die phasenverschobenen Spannungen wie Vektoren in das Diagramm einzeichnen. Auf welche Achse und mit welchem Vorzeichen wir dieses eintragen, ergibt sich aus den Phasenverschiebungen der Teilspannungen $U_R$, $U_C$ und $U_L$ bezogen auf die Stromstärke $I(t)$.

• Bezogen auf $I$ ist die Spannung am ohmschen Widerstand $U_R$ in Phase mit der Stromstärke. Deswegen liegen die beiden Zeiger für die beiden Größen aufeinander.
• Wir wissen, dass die Stromstärke zur Spannung einen Phasenunterschied von $\Delta \varphi_C = \frac{\pi}{2}$ hat. Drehen wir das Ganze aber um und beziehen die Spannung $U_C$ auf die Stromstärke $I$, dann ergibt sich für das Zeigerdiagramm ein Phasenunterschied von $-\frac{\pi}{2}$, was einen vertikalen Pfeil nach unten bedeutet.
• Ebenso haben wir vorhin ermittelt, dass die Stromstärke der Spule zur Spannung eine Phasenverschiebung von $\Delta \varphi_L = -\frac{\pi}{2}$ hat. Beziehen wir das für unser Zeigerdiagramm auf die Stromstärke, können wir für $U_L$ eine Phasenverschiebung von $\frac{\pi}{2}$ zur Stromstärke $I$ festhalten. Das wäre im Zeigerdiagramm ein vertikaler Pfeil nach oben.

Nun können wir die Gesamtspannung mit dem Pythagoras bestimmen:

$U=\sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}$

Teilen wir in dem Zeigerdiagramm die Spannungen durch die Stromstärke, erhalten wir analog ein Zeigerdiagramm für die Impedanz! Hiermit können wir ebenfalls mit dem Pythagoras die Impedanz $Z$ der gesamten RCL-Reihenschaltung berechnen:

$Z=\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Mit den Definitionen für $ X_L$ und $X_C$ erhalten wir:

$Z=\sqrt{R^2 + \left(\omega \cdot L - \dfrac{1}{\omega \cdot C}\right)^2}$

Damit haben wir ein Ergebnis für die Impedanz $Z$ des RCL-Reihenkreises. Um dieses zu interpretieren, betrachten wir den Ausdruck und schauen, wann denn die Impedanz $Z$ minimal wird! Dies geschieht, wenn $\omega L - \frac{1}{\omega C}=0$ ist! Die Kreisfrequenz $\omega$, bei der dieser Fall eintritt, wird auch Resonanzkreisfrequenz $\omega_0$ genannt. Versuchen wir, diese Resonanzkreisfrequenz $\omega_0$ zu bestimmen:

$\omega_0 \cdot L - \dfrac{1}{\omega_0 \cdot C}=0$

Umstellen liefert:

$\omega_0 \cdot L= \dfrac{1}{\omega_0\cdot C}$

Beziehungsweise:

$\omega_0^2= \dfrac{1}{LC}$

Mit Wurzelziehen und der Beziehung $\omega=2\pi f$ erhalten wir schlussendlich die Resonanzfrequenz $f_0$, bei der die Impedanz, also der Gesamtwiderstand der Schaltung, minimal wird!

$f_0= \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}$

RCL-Parallelschaltung (Sperrkreis)

Bei der Parallelschaltung werden die Bauteile nacheinander parallel geschaltet.

Aufgrund der Parallelschaltung liegt unsere Ausgangsspannung $U$ in gleicher Größe an den einzelnen Impedanzen an. Allerdings wird sich nun die Gesamtstromstärke $I$ nach dem kirchhoffschen Gesetz aufteilen. Mit den zuvor hergeleiteten Phasenbeziehungen können wir auch hier analog zum Siebkreis ein Zeigerdiagramm erstellen. Diesmal beziehen wir uns aber auf die Ströme $I(t)$. $I_R$ ist wieder in Phase mit der Spannung und zeigt also auch in Richtung der Spannung. $I_C$ und $I_L$ sind damit aber genau umgekehrt zu dem vorherigen Diagramm, wo wir die Spannungen betrachtet haben! Wir erhalten damit folgendes Diagramm:

Auch hier erhalten wir mit dem Satz des Pythagoras:

$I=\sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2}$

Teilen wir hier nun die Stromstärken durch die Spannung, erhalten wir ein Zeigerdiagramm für den Kehrwert der Impedanz!

Ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir für $\dfrac{1}{Z}$:

$\dfrac{1}{Z}=\sqrt{\dfrac{1}{R^2}+ \left(\dfrac{1}{X_C}- \dfrac{1}{X_L}\right)^2}$

Bilden wir den Kehrwert, ergibt sich die Impedanz $Z$ zu:

$Z=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2}+ \left(\dfrac{1}{X_C} - \dfrac{1}{X_L}\right)^2}}$

Mit den Definitionen für $ X_L$ und $X_C$ erhalten wir:

$Z=\sqrt{\dfrac{1}{R^2} + \left(\omega\cdot C - \dfrac{1}{\omega \cdot L}\right)^2}$

Auch hier betrachten wir wieder den Ausdruck in der Klammer. Hier ist es nun aber wegen des Bruchs so, dass $Z$ maximal wird, wenn der Ausdruck in der Klammer null wird!

$\omega_0 \cdot C - \dfrac{1}{\omega_0 \cdot L}=0$

Umstellen liefert:

$\omega_0 \cdot C= \dfrac{1}{\omega_0 \cdot L}$

Beziehungsweise:

$\omega_0^2= \dfrac{1}{L \cdot C}$

Mit Wurzelziehen und der Beziehung $\omega=2\pi \cdot f$ erhalten wir schlussendlich die Resonanzfrequenz $f_0$, bei der die Impedanz, also der Gesamtwiderstand der Schaltung, maximal wird!

$f_0= \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis