Die Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte Übung

• Definiere den Begriff der Mittelsenkrechte.

  Tipps

  Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten.

  Eine Gerade hat im Gegensatz zu einer Strecke weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.

  Lösung

  Hier siehst du die Strecke $\overline{AB}$, deren Mittelsenkrechte blau eingezeichnet ist.

  Der Punkt in dem Winkel zeigt an, dass die Mittelsenkrechte (das sagt auch bereits der Name) senkrecht zu der Strecke verläuft. Sie schneidet die Strecke also in einem $90^\circ$-Winkel und außerdem genau in der Mitte.

  Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist also die Gerade, die senkrecht zu dieser Strecke verläuft und die Strecke halbiert.

  Das bedeutet insbesondere, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den beiden Punkten $A$ und $B$ hat. Somit kann die Mittelsenkrechte ebenfalls als Menge aller Punkte definiert werden, welche sowohl zu $A$ als auch zu $B$ den gleichen Abstand haben.

• Beschreibe die Konstruktion einer Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$.

  Tipps

  Die Punkte, durch die die Mittelsenkrechte verläuft, erhältst du durch die beiden Kreise.

  Zuerst zeichnest du die Strecke $\overline{AB}$.

  Lösung

  Hier siehst du die Konstruktionsschritte:

  1. Zunächst zeichnest du die Strecke $\overline{AB}$.
  2. Dann zeichnest du sowohl um $A$ als auch um $B$ einen Kreis mit dem gleichen Radius. Dieser muss größer sein als die Hälfte der Streckenlänge.
  3. Die beiden Kreise schneiden sich in den beiden Punkten $R$ und $S$. Jeder der beiden Punkte hat den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$.
  4. Zeichne zuletzt eine Gerade durch die beiden Punkte $R$ und $S$. Diese Gerade ist die gesuchte Mittelsenkrechte.

• Ermittle die Mittelsenkrechten der jeweiligen Strecken.

  Tipps

  Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben.

  Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade, die senkrecht zu dieser Strecke verläuft und die Strecke halbiert.

  Es genügt also nicht, dass die Gerade die Strecke in der Mitte schneidet: Sie muss sie auch im rechten Winkel schneiden.

  Lösung

  Eine Mittelsenkrechte einer Strecke besitzt folgende Eigenschaften:

  • Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade, die senkrecht zu dieser Strecke verläuft und diese halbiert.
  • Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben.

  Damit können wir den Strecken folgende Geraden als Mittelsenkrechten zuordnen:

  • $\overline{AB}$ und $g$
  • $\overline{EF}$ und $i$
  • $\overline{IJ}$ und $k$
  • $\overline{MN}$ und $m$

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Verwende diese Bezeichnungen in einem gleichschenkligen Dreieck.

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Dies ist ein besonderer Fall eines gleichschenkligen Dreiecks.

  Ein Dreieck hat drei Höhen. Zu jeder Seite ist die Höhe das Lot des dieser Seite gegenüberliegenden Punktes auf diese Seite.

  Die Winkelhalbierende eines Winkels ist diejenige Halbgerade, die ihren Anfangspunkt im Scheitelpunkt des Winkels hat und das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt.

  Lösung

  Das hier abgebildete Dreieck $\Delta ABC$ ist gleichseitig.

  Die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ teilt dieses Dreieck in zwei kongruente Dreiecke. Sie ist auch gleichzeitig Höhe und Winkelhalbierende.

  Das gilt ebenso für die Mittelsenkrechten der Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$.

  Damit ist der Mittelpunkt des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks der Schnittpunkt seiner:

  • Mittelsenkrechten
  • Seitenhalbierenden
  • Winkelhalbierenden.
  • Höhen

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist das nicht immer der Fall, sondern nur bei der Mittelsenkrechten der Basis: Auch diese teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke. Die Höhe, die Mittelsenkrechte und die Seitenhalbierende der Basis sowie die Winkelhalbierende des Winkels gegenüber der Basis fallen zusammen.

  Damit ist in einem gleichschenkligen Dreieck der Schnittpunkt der Höhe auf die Basis und der Mittelsenkrechten eines Schenkels der Mittelpunkt des Umkreises.

  Dies gilt nicht für die Mittelsenkrechten der beiden Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks.

• Fasse die Eigenschaften von Mittelsenkrechten zusammen.

  Tipps

  Der Begriff „senkrecht“ zeigt einen rechten Winkel an.

  Beachte, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$ hat.

  Lösung

  Die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ den gleichen Abstand haben.

  Somit gilt:

  • $\left|\overline{AP}\right|=\left|\overline{BP}\right|$
  • $\left|\overline{AQ}\right|=\left|\overline{BQ}\right|$

  Insbesondere liegt der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ auf der Mittelsenkrechten. Das bedeutet, dass diese die Strecke halbiert. Darüber hinaus verläuft die Mittelsenkrechte senkrecht zu der Strecke – daher kommt auch ihr Name.

• Weise nach, dass die beiden Definitionen der Mittelsenkrechte äquivalent sind.

  Tipps

  Zwei Dreiecke sind kongruent, das bedeutet deckungsgleich, wenn sie in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen.

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß. Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt $180^\circ$.

  Lösung

  Die Mittelsenkrechte einer Strecke wird so konstruiert, dass jeweils ein Kreis mit gleichem Radius um den Anfangs- und Endpunkt der Strecke $\overline{AB}$ gezeichnet wird. Der Radius muss dabei größer als die Hälfte der Länge der Strecke sein.

  Die Gerade durch die so erhaltenen beiden Schnittpunkte $R$ und $S$ der Kreise ist die Mittelsenkrechte. Dass diese die Strecke in deren Mittelpunkt $M$ schneidet, folgt daraus, dass jeder Punkt auf der Geraden den gleichen Abstand zu den beiden Punkten der Strecke hat.

  Hier siehst du nun, wie mit Kongruenzsätzen nachgewiesen werden kann, dass die Mittelsenkrechte auch senkrecht zu der Strecke verläuft.

  Wenn der Radius der beiden Kreise gleich der Länge der Strecke ist, erhältst du ein gleichseitiges Dreieck $\Delta{ABR}$ bzw. $\Delta{ABS}$. Alle Innenwinkel sind gleich groß, also $60^\circ$.

  Es gilt:

  • $\left|\overline{AR}\right|=\left|\overline{BR}\right|$
  • $\left|\overline{AM}\right|=\left|\overline{MB}\right|$
  • $\left|\overline{MR}\right|=\left|\overline{MR}\right|$

  Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke $\Delta AMR$ sowie $\Delta BRM$ in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Das heißt, diese Dreiecke sind kongruent. Dann sind insbesondere auch alle Innenwinkel gleich groß: $\sphericalangle(AMR)=\sphericalangle(BMR)$.

  Da die beiden Winkel gemeinsam $180^\circ$ ergeben, gilt somit:

  $\sphericalangle(AMR)+\sphericalangle(RMB)=\sphericalangle(AMR)+\sphericalangle(AMR)=2\cdot \sphericalangle(AMR)=180^\circ$

  Dividiere zuletzt durch $2$. So erhältst du:

  $\sphericalangle(AMR)=90^\circ$

  Da $\sphericalangle(AMR) = \sphericalangle(RMB)$ gilt, ist auch $\sphericalangle(RMB) = 90^\circ$.

  Damit ist die Aussage bewiesen, dass die so konstruierte Gerade die Strecke in einem rechten Winkel schneidet.

  Es gilt übrigens:

  $\sphericalangle(MRA)=\sphericalangle(BRM)=30^\circ$