Die Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierende Übung

• Zeige die Seitenhalbierenden und den Seitenmittelpunkt.

  Tipps

  Jede Seitenhalbierende des Dreiecks $\Delta ABC$ verläuft im Inneren dieses Dreiecks.

  Nur in einem gleichschenkligen Dreieck steht eine Seitenhalbierende senkrecht auf der Seite.

  Der Seitenmittelpunkt ist ein Endpunkt der Seitenhalbierenden.

  Lösung

  Der Mittelpunkt einer Dreiecksseite hat zu den beiden Endpunkten dieser Seite, also zu den beiden Eckpunkten des Dreiecks, die auf der jeweiligen Seite liegen, jeweils den gleichen Abstand. Er liegt also genau in der Mitte der Seite. Die Seitenhalbierende einer Dreiecksseite ist die Strecke vom Mittelpunkt der Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Die Seitenhalbierende verläuft immer im Inneren des Dreiecks.

  Im Bild siehst du das Dreieck $\Delta ABC$. Im Inneren des Dreiecks verlaufen $6$ Strecken. Drei dieser Strecken sind Seitenhalbierende. Sie verlaufen jeweils vom Mittelpunkt einer Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Keine dieser Seitenhalbierenden steht senkrecht auf den Seiten, denn das Dreieck ist nicht gleichschenklig.

  Jede Seitenhalbierende teilt eine Dreiecksseite in zwei genau gleich lange Hälften. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden mit der Dreiecksseite ist der Seitenmittelpunkt. Im Bild siehst du außer den drei Seitenhalbierenden noch die Höhen auf die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ sowie die Mittelsenkrechte auf die Seite $\overline{BC}$. Die Höhen stehen senkrecht auf den Seiten. Sie teilen die Seiten in zwei deutlich verschieden lange Teile. Die Schnittpunkte der Höhen mit den Seiten sind daher nicht die Seitenmittelpunkte. Nur bei einem gleichschenkligen Dreieck ist eine Höhe zugleich Seitenhalbierende. Die Mittelsenkrechte teilt die Seite $\overline{BC}$ in zwei gleich lange Teile, aber sie trifft nicht auf die gegenüberliegende Ecke. Sie ist daher keine Seitenhalbierende. Dies wäre wiederum nur bei einem gleichschenkligen Dreieck der Fall.

• Zeige die Konstruktion der Seitenhalbierenden.

  Tipps

  Beginne die Konstruktion mit dem Einstechen des Zirkels im Punkt $A$.

  Fixiere die Zirkelspanne, nachdem du den ersten Kreisbogen gezogen hast.

  Zeichne im letzten Konstruktionsschritt die Seitenhalbierende als Verbindungsstrecke des Punktes $C$ mit dem Mittelpunkt zwischen $A$ und $B$ ein.

  Lösung

  Hier ist die Beschreibung der Konstruktionsschritte in Worten in der korrekten Reihenfolge:

  1. Stich den Zirkel im Punkt $A$ ein. Wähle dabei eine Zirkelspanne, die größer ist als die Hälfte der Strecke $\overline{AB}$.
  2. Schlage einen Kreisbogen von oberhalb bis unterhalb der Seite $c$.
  3. Fixiere die Zirkelspanne.
  4. Stich den Zirkel im Punkt $B$ ein.
  5. Schlage einen Kreisbogen, der den ersten Kreisbogen in zwei Punkten schneidet.
  6. Markiere die Schnittpunkte.
  7. Zeichne mit dem Lineal die Verbindungsstrecke der Schnittpunkte der Kreisbogen ein.
  8. Markiere den Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke mit der Dreiecksseite $c$. Dieser Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Seite $c$.
  9. Zeichne mit dem Lineal die Verbindungsstrecke zwischen dem Eckpunkt $C$ und dem zuletzt markierten Punkt, also dem Mittelpunkt der Seite $c$. Diese Verbindungsstrecke ist die Seitenhalbierende der Seite $c$.

• Zeige die Seitenhalbierenden und den Schwerpunkt.

  Tipps

  Nur in einem gleichschenkligen Dreieck steht eine Seitenhalbierende senkrecht auf der Seite, die sie halbiert.

  Jede Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Teile.

  Im Schwerpunkt eines Dreiecks schneiden sich seine drei Seitenhalbierenden.

  Lösung

  Die Seitenhalbierende einer Dreiecksseite ist eine Strecke, die vom Mittelpunkt der Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. Da jedes Dreieck drei Seiten hat, gehören zu jedem Dreieck auch drei Seitenhalbierende. Nur bei einem gleichschenkligen Dreieck steht eine Seitenhalbierende – nämlich die der Basis – senkrecht auf der Seite, die sie halbiert. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.

  In der Aufgabe siehst du neben den Seitenhalbierenden noch vier weitere Strecken, die keine Seiten des Dreiecks sind. Da das Dreieck erkennbar drei verschieden lange Seiten hat, ist es nicht gleichschenklig. Daher kann keine der Strecken, die senkrecht auf einer Dreiecksseite steht, Seitenhalbierende sein. Bei diesen Strecken handelt es sich um die Höhen der Seiten $b$ und $c$ sowie die Mittelsenkrechte der Seite $a$. Die weitere Gerade vom Eckpunkt $B$ zur Seite $b$ ist die Winkelhalbierende des Winkels bei $B$. Sie verläuft zwischen der Höhe und der Seitenhalbierenden.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  In einem nicht gleichschenkligen Dreieck ist keine Seitenhalbierende zugleich Höhe.

  Der Flächeninhalt eines diagonal halbierten Rechtecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt des ganzen Rechtecks.

  Lösung

  Die Seitenhalbierende einer Dreiecksseite verläuft vom Mittelpunkt der Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Sie teilt das Dreieck in zwei Dreiecke mit demselben Flächeninhalt. Dadurch ist das Dreieck längs jeder Seitenhalbierenden ausbalanciert. Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden ist deswegen der Schwerpunkt des Dreiecks. Nur in einem gleichschenkligen Dreieck ist eine Seitenhalbierende zugleich eine Höhe. Jede Höhe eines Dreiecks steht senkrecht auf einer Dreiecksseite.

  Das sind die richtigen Satzaussagen:

  • Jede Seitenhalbierende eines Dreiecks teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke.

  • Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das Produkt aus der Hälfte einer Dreiecksseite und der zugehörigen Höhe.

  • Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt auf jeder Seitenhalbierenden.

  • Jeder Eckpunkt eines Dreiecks liegt auf genau einer Seitenhalbierenden.

  • Jede Höhe eines Dreiecks steht senkrecht auf genau einer Seite des Dreiecks.

• Benenne die geometrischen Größen.

  Tipps

  Eine Gerade ist unendlich lang.

  Die Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

  Jede Höhe im Dreieck steht senkrecht auf einer Seite des Dreiecks.

  Lösung

  Im Bild siehst du ein großes Dreieck mit den Eckpunkten $A$, $B$ und $C$ und den Seiten $a = \overline{BC}$, gegenüber dem Eckpunkt $A$, sowie $b = \overline{AC}$ und $c=\overline{AB}$. Das Dreieck $\Delta ABC$ ist in zwei kleinere Dreiecke unterteilt. Diese haben jeweils den Punkt $C$ gemeinsam und einen weiteren Punkt auf der Seite $c$.

  Wenn du genau hinschaust, kannst du erkennen, dass dieser weitere Punkt die Seite $c$ in zwei genau gleich lange Teile unterteilt. Dieser Punkt ist daher der Seitenmittelpunkt der Seite $c$. Die Verbindungsstrecke von diesem Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Eckpunkt $C$ ist die Seitenhalbierende der Seite $c$.

  Du siehst im Bild keine Gerade, sondern nur Strecken. Eine Gerade ist unendlich lang. Da man das nicht direkt einzeichnen kann, werden Geraden ohne markierte Endpunkte eingezeichnet. Eine gerade Linie mit markierten Endpunkten heißt in der mathematischen Fachsprache nicht Kante, sondern Strecke. Durch einen Kreisbogen zwischen zwei sich schneidenden Geraden, Halbgeraden oder Strecken markiert man im Bild den Winkel, der durch diese gebildet wird, nicht die Fläche, die durch das Dreieck umschlossen wird.

  Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Er ist in diesem Bild nicht eingezeichnet.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Bei einem gleichseitigen Dreieck liegt jede Seitenhalbierende auf einer Winkelhalbierenden.

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Seitenhalbierende der Basis den Winkel, der von den zwei Schenkeln eingeschlossen wird. Die Seitenhalbierende verläuft damit entlang der Winkelhalbierenden. Bei einem gleichseitigen Dreieck kann man jede Seite als Basis nehmen. Daher gilt die Aussage für jede Seiten- und Winkelhalbierende.

  • Ist jede Seitenhalbierende zugleich eine Höhe, so ist das Dreieck gleichschenklig.

  Tatsächlich ist in diesem Fall das Dreieck sogar gleichseitig, also insbesondere auch gleichschenklig.

  • Teilt eine Winkelhalbierende das Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke, so ist das Dreieck gleichschenklig und die Winkelhalbierende verläuft entlang der Seitenhalbierenden.

  Die Eigenschaft, das Dreieck in zwei flächengleiche Teile zu teilen, trifft unter allen Strecken, die durch einen Eckpunkt verlaufen, nur für die Seitenhalbierende zu. Erfüllt eine Winkelhalbierende diese Eigenschaft, so muss sie entlang der Seitenhalbierenden verlaufen. Das Dreieck ist dann gleichschenklig.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Zu jeder Strecke und jeder Seite eines Vielecks gibt es eine eindeutig bestimmte Seitenhalbierende.

  Bei einem Fünfeck z. B. gibt es keine eindeutige Seitenhalbierende, denn dem Seitenmittelpunkt liegt nicht ein Eckpunkt des Fünfecks gegenüber, sondern drei. Auch eine beliebige Strecke hat zwar einen eindeutig bestimmten Mittelpunkt und eine Mittelsenkrechte, aber keine Seitenhalbierende, weil kein eindeutig bestimmter gegenüberliegender Punkt gegeben ist, den die Seitenhalbierende mit dem Seitenmittelpunkt verbindet.

  • Jede Seitenhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite.

  Die Aussage gilt nur für die Seitenhalbierende der Basis. Die Seitenhalbierenden der Schenkel eines gleichschenkligen, aber nicht gleichseitigen Dreiecks stehen auf den Schenkeln nicht senkrecht.

  • Bei einem gleichschenkligen Dreieck haben Inkreis und Umkreis denselben Mittelpunkt.

  Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Da bei einem gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreieck nicht alle Mittelsenkrechten entlang der Winkelhalbierenden verlaufen, können die Schnittpunkte ebenfalls nicht übereinstimmen.

  • Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Mittelpunkt des Umkreises.

  Dies ist nur bei einem gleichseitigen Dreieck richtig. Denn der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Da die Mittelsenkrechten im Allgemeinen nicht entlang der Seitenhalbierenden verlaufen, können auch die Schnittpunkte nicht gleich sein.