Mittelpunkt eines Kreises konstruieren

Mittelpunkt eines Kreises konstruieren Übung

• Vervollständige die Konstruktionsbeschreibung.

  Tipps

  Eine Passante eines Kreises schneidet den Kreis nicht. Eine Tangente berührt ihn in genau einem Punkt.

  Ist die Zirkelspanne bei der Konstruktion von Kreisbögen zu klein, so schneiden sich die Kreisbögen nicht. Überlege, wie groß die Zirkelspanne sein muss, damit die Kreisbögen genau zwei Schnittpunkte haben.

  Ein Durchmesser eines Kreises ist eine Sekante des Kreises, die durch dessen Mittelpunkt verläuft.

  Lösung

  Mona konstruiert den Mittelpunkt eines kreisrunden Sees. Sie geht dabei wie folgt vor:

  • Sie beginnt, indem sie eine Sekante zeichnet. Hierbei handelt es sich um eine Gerade, die genau zwei Schnittpunkte mit dem Kreis hat. Diese Schnittpunkte bezeichnet Mona mit $A$ und $B$.
  • Als Nächstes konstruiert sie zu der Strecke $\overline{AB}$ die Mittelsenkrechte. Dazu sticht sie den Zirkel in die Schnittpunkte $A$ und $B$ ein und zeichnet jeweils einen Kreisbogen. Damit sich die Kreisbögen schneiden, muss der Radius größer als die Hälfte der Strecke $\overline{AB}$ sein. Damit die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte wirklich die Mittelsenkrechte ist, muss der Radius beider Kreisbögen derselbe sein.
  • Mona markiert nun die Schnittpunkte der Kreisbögen und verbindet sie durch eine Strecke. Diese ist die Mittelsenkrechte zu der Strecke $\overline{AB}$. Die entstandene Strecke zwischen den Schnittpunkten mit dem Kreis S1 und S2 ist zugleich auch ein Durchmesser des Kreises, d. h. sie verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises bzw. des Sees.
  • Um den Mittelpunkt zu finden, konstruiert Mona zu der Strecke $\overline{S_1 S_2}$ wieder die Mittelsenkrechte. Die beiden so konstruierten Mittelsenkrechten schneiden sich dann genau im Mittelpunkt des Kreises.

• Gib die Konstruktionsbeschreibung an.

  Tipps

  Die Konstruktion endet mit der Markierung des Mittelpunktes.

  Die Konstruktion beginnt mit einem Dreieck auf dem Kreis.

  Bevor du Schnittpunkte mit dem Lineal verbinden kannst, solltest du sie markieren.

  Lösung

  Die Konstruktion des Mittelpunktes eines Kreises endet mit der Markierung des konstruierten Punktes, der der Mittelpunkt des Kreises ist. Dies gibt dir den Hinweis, welcher Konstruktionsschritt der letzte ist. Bei der Konstruktion von Verbindungsgeraden oder Kreisbogen solltest du jeweils vorher die zu verbindenden Punkte bzw. die Einstichstellen des Zirkels markieren. Du kannst später in der Konstruktion auch nur Punkte weiter verwenden, die zuvor schon konstruiert wurden. Mit diesen Hinweisen findest du die folgende korrekte Abfolge der Konstruktionsschritte:

  $1.$ Markiere drei verschiedene Punkte $A$, $B$ und $C$ auf dem Kreis.

  $2.$ Verbinde die Punkte $A$, $B$ und $C$ zu einem Dreieck.

  $3.$ Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Stelle hierzu den Zirkel auf eine Spanne ein, die größer ist als die Hälfte der Strecke $\overline{AB}$.

  $4.$ Schlage mit der fixierten Zirkelspanne je einen Kreisbogen um die Punkte $A$ und $B$.

  $5.$ Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen.

  $6.$ Verbinde die Schnittpunkte durch eine Gerade, die Mittelsenkrechte zu $\overline{BC}$.

  $7.$ Wiederhole die Konstruktion der Mittelsenkrechten für eine andere Strecke, z. B. $\overline{AB}$.

  $8.$ Markiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Dieser ist der gesuchte Mittelpunkt des Kreises.

• Bestimme die Konstruktionen.

  Tipps

  Die Mittelsenkrechte einer Dreieckseite verläuft nicht notwendig durch eine Ecke des Dreiecks.

  Die Höhe steht senkrecht auf einer Dreieckseite und verläuft durch eine Ecke.

  Das Dreieck liegt in seinem Umkreis.

  Lösung

  Die konstruierten Elemente sind der In- und Umkreis des Dreiecks sowie je eine Höhe, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende.

  • Der Inkreis liegt im Inneren des Dreiecks und berührt jede Dreieckseite in genau einem Punkt.

  • Der Umkreis geht durch alle drei Ecken des Dreiecks; das Dreieck liegt im Inneren des Umkreises.

  • Die Höhe einer Dreiecksseite ist das Lot der gegenüberliegenden Ecke auf diese Seite.

  • Die Mittelsenkrechte einer Seite steht senkrecht auf der Seite und verläuft durch den Mittelpunkt.

  • Die Seitenhalbierende einer Dreieckseite ist die Verbindungsgerade des Mittelpunktes zur gegenüberliegenden Ecke.

  • Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel des Dreiecks mittig in zwei genau gleich große Winkel auf.

• Prüfe die Konstruktion.

  Tipps

  Die Mittelsenkrechte einer Geraden steht senkrecht auf der Geraden.

  Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite muss nicht durch eine Ecke des Dreiecks verlaufen.

  Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

  Lösung

  In dem Bild sind zwei Mittelsenkrechten, zwei Höhen und eine Winkelhalbierende verzeichnet.

  • Die Mittelsenkrechte einer Strecke steht senkrecht auf der Strecke und schneidet die Strecke im Mittelpunkt. Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite verläuft meistens nicht durch eine Ecke des Dreiecks.

  • Die Höhen eines Dreiecks sind die Lote von den Ecken auf die gegenüberliegenden Seiten. Sie stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten, schneiden die Seiten aber meistens nicht in der Mitte. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann es passieren, dass eine oder zwei Höhen die gegenüberliegende Seite nicht schneiden.

  • Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel des Dreiecks in der Mitte. Sie verläuft durch eine Ecke des Dreiecks und schneidet die gegenüberliegende Seite. Der Schnittpunkt liegt im Allgemeinen nicht in der Mitte der Seite.

  • Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten.

  Mit diesen Hinweisen erhältst du die hier markierten Geraden und Punkte.

• Ergänze die Definitionen.

  Tipps

  Der Abstand des Kreismittelpunktes zu einem Punkt auf dem Kreis heißt Radius des Kreises.

  Überlege, wie viele Schnittpunkte eine Gerade und ein Kreis haben können.

  Der Mittelpunkt eines Durchmessers ist der Mittelpunkt des Kreises.

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Der Mittelpunkt des Kreises ... hat von allen Punkten des Kreises denselben Abstand.“ Dieser Abstand ist der Radius des Kreises.

  • „Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ... verbindet alle Punkte, die von $A$ und $B$ denselben Abstand haben.“ Die Mittelsenkrechte teilt die Strecke $\overline{AB}$ genau in der Mitte. Der Abstand des Schnittpunktes zu $A$ und zu $B$ ist jeweils halb so groß wie die Strecke $\overline{AB}$. Da die Mittelsenkrechte senkrecht auf $\overline{AB}$ steht, haben alle ihre Punkte denselben Abstand zu $A$ wie zu $B$.

  • „Eine Sekante ... schneidet den Kreis in genau zwei Punkten.“ Das Wort Sekante kommt von schneiden: Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten, eine Tangente berührt ihn in einem Punkt. Eine Passante geht an dem Kreis vorbei und hat keine Punkte mit dem Kreis gemeinsam.

  • „Der Umkreis eines Dreiecks $\Delta_{ABC}$ ... enthält alle drei Punkte $A$, $B$ und $C$.“ Der Umkreis geht durch alle Punkte eines Dreiecks, der Inkreis hat mit jeder Seite des Dreiecks genau einen Punkt gemeinsam.

  • „Die Mittelsenkechte eines Durchmessers ... schneidet den Durchmesser im Mittelpunkt des Kreises.“ Die Mittelsenkrechte einer Strecke schneidet die Strecke genau in der Mitte. Die Mitte eines Durchmessers ist der Mittelpunkt des Kreises.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks hat zu allen drei Eckpunkten denselben Abstand.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Mittelsenkrechten zu zwei Sekanten eines Kreises schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.“ Die Mittelsenkrechte einer Sekante ist ein Durchmesser des Kreises. Die Mittelsenkrechten zweier verschiedener Sekanten sind dann zwei verschiedene Durchmesser. Der Schnittpunkt zweier Durchmesser ist der Mittelpunkt des Kreises.

  • „Der Radius eines Kreises ist die durch die Mittelsenkrechte auf einen Durchmesser gebildete Strecke.“ Die Mittelsenkrechte schneidet einen Durchmesser genau in der Mitte. Sie teilt den Durchmesser daher in zwei gleich lange Strecken von der Hälfte der Länge des Durchmessers. Der Radius eines Kreises ist die Hälfte eines Durchmessers.

  • „Ist ein Dreieck nicht gleichschenklig, so kann man die Zirkelspanne in der Konstruktion kleiner wählen als die Hälfte der längsten Seite.“ Ein nicht gleichschenkliges Dreieck hat drei verschieden lange Seiten. Für die Konstruktion des Mittelpunktes mithilfe der Mittelsenkrechten genügen die beiden kürzeren Seiten. Insbesondere muss die Zirkelspanne nur länger als die Hälfte von zwei der Dreiecksseiten sein.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind der Mittelpunkt des Inkreises und des Umkreises identisch.“ Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Bei einem sehr spitzen gleichschenkligen Dreieck wie im Bild liegt Mittelpunkt des Umkreises viel näher an dem spitzen Winkel als der Mittelpunkt des Inkreises.

  • „Jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Sekante hat zu den beiden Schnittpunkten der Sekante mit dem Kreis denselben Abstand. Wenn man die Sekante parallel verschiebt, gilt diese Aussage nur noch für den Mittelpunkt des Kreises.“ Durch die Parallelverschiebung der Sekante ändert sich ihre Mittelsenkrechte nicht. Alle Punkte der Mittelsenkrechten haben zu den beiden Endpunkten jeder Strecke mit dieser Mittelsenkrechten denselben Abstand.

  • „Es ist unmöglich, allein mit Zirkel und Lineal ein Quadrat von der Kantenlänge eines Durchmessers des Kreises zu konstruieren.“ Den Durchmesser des Kreises kannst du konstruieren; diese Konstruktion ist ein Teilschritt aus der Konstruktion des Mittelpunktes. Über dem Durchmesser kannst du mit Zirkel und Lineal ein Quadrat von der Kantenlänge des Durchmessers konstruieren.

  • „Der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten von Sekanten eines Kreises teilt die Mittelsenkrechten im Verhältnis $1:2$.“ Die Mittelsenkrechten von Sekanten sind Durchmesser des Kreises. Der Schnittpunkt zweier Durchmesser ist der Mittelpunkt des Kreises. Er teilt die Mittelsenkrechte im Verhältnis $1:1$.