Die Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende Übung

• Zeige die Winkelhalbierenden der Winkel bei den Eckpunkten $A$ und $C$.

  Tipps

  Jede Winkelhalbierende verläuft durch einen Eckpunkt des Dreiecks.

  Eine Winkelhalbierende steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite.

  Keine Seite eines Dreiecks ist eine Winkelhalbierende der Winkel des Dreiecks.

  Lösung

  Die Winkelhalbierende eines Winkels teilt den Winkel genau in der Mitte. Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat daher von jedem Schenkel des Winkels denselben Abstand.

  In dem Bild siehst du neben den drei Dreieckseiten sieben weitere Strecken, die durch Eckpunkte des Dreiecks oder die Seitenmittelpunkte verlaufen. Keine der Dreieckseiten ist eine Winkelhalbierende eines der Winkel des Dreiecks. Denn je zwei Seiten liegen einem Winkel an, die dritte liegt ihm gegenüber.

  Unter den weiteren Strecken sind die Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$ bei dem Eckpunkt $A$ und des Winkels $\gamma$ bei dem Eckpunkt $C$. Diese Strecken sind grün gezeichnet. Außerdem siehst du die Höhe von dem Eckpunkt $C$ auf die Seite $c$ in blau, die Mittelsenkrechten der Seiten $b$ und $c$ in rot sowie die Seitenhalbierenden der Seiten $a$ und $b$ in violett.

• Zeige die Konstruktionsschritte der Winkelhalbierenden auf.

  Tipps

  Beginne die Konstruktion im Scheitelpunkt des Winkels.

  Beende die Konstruktion mit der Benutzung des Lineals.

  Markiere Schnittpunkte jeweils im nächsten Schritt, nachdem sie konstruiert wurden.

  Lösung

  Du kannst die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge bringen, indem du jeweils vergleichst, was bei den einzelnen Bildern an Konstruktion neu hinzukommt. Es hilft auch, die Aktionen auf den einzelnen Bildern in Worten zu beschreiben, um die korrekte Reihenfolge zu finden.

  Hier ist eine Beschreibung der Konstruktionsschritte auf den einzelnen Bildern in Worten:

  1. Stich den Zirkel im Scheitelpunkt des Winkels ein.
  2. Schlage einen Kreisbogen, der beide Schenkel des Winkels schneidet.
  3. Markiere die Schnittpunkte des Kreisbogens mit den Schenkeln des Winkels.
  4. Stich den Zirkel in einen der Schnittpunkte des Kreisbogens mit dem Schenkel ein.
  5. Schlage einen Kreisbogen um einen Schnittpunkt des ersten Kreisbogens mit einem Schenkel des Winkels.
  6. Verändere die Zirkelspanne nicht.
  7. Stich den Zirkel in den anderen Schnittpunkt des ersten Kreisbogens mit dem Schenkel des Winkels ein und schlage einen weiteren Kreisbogen.
  8. Markiere die beiden Schnittpunkte der letzteren beiden Kreisbogen.
  9. Verbinde mit dem Lineal die markierten Schnittpunkte miteinander und mit dem Scheitelpunkt des Winkels.

• Zeige die Winkelhalbierenden und den Inkreis.

  Tipps

  Jede Winkelhalbierende verläuft durch einen Eckpunkt des Dreiecks.

  Der Inkreis trifft keinen Eckpunkt des Dreiecks.

  Eine Winkelhalbierende trifft im Allgemeinen nicht den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

  Lösung

  In dem Bild siehst du ein Dreieck mit $9$ Strecken und $2$ Kreisen. Die Winkelhalbierende eines Winkels des Dreiecks verläuft genau in der Mitte zwischen den beiden Seiten, die diesen Winkel bilden. Sie verläuft von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite und trifft diese im Allgemeinen weder rechtwinklig noch mittig.

  Neben den drei Winkelhalbierenden sind in dem Bild noch zwei Mittelsenkrechten, zwei Höhen und zwei Seitenhalbierende zu sehen. Die Mittelsenkrechten verlaufen vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Seite. Sie stehen senkrecht auf derjenigen Seite, durch deren Mittelpunkt sie verlaufen, und treffen im Allgemeinen nicht den gegenüberliegenden Eckpunkt. Die Seitenhalbierende einer Seite verläuft vom Seitenmittelpunkt zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Sie stimmt im Allgemeinen nicht mit der Winkelhalbierenden des Winkels an diesem Eckpunkt überein. Die Höhe auf eine Seite verläuft von dem gegenüberliegenden Eckpunkt senkrecht auf diese Seite. Sie stimmt ebenfalls meistens nicht mit der Winkelhalbierenden überein.

  Der Inkreis berührt jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt und verläuft ganz im Innern des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

  Neben dem Inkreis siehst du in dem Bild noch einen weiteren Kreis: Dieser schneidet die Dreiecksseiten an verschiedenen Stellen und verläuft weder ganz im Innern noch ganz im Äußeren des Dreiecks.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Zeichne die Winkelhalbierende eines Winkels nicht als Halbgerade, sondern als Gerade über den Scheitelpunkt hinaus.

  Der Abstand eines Punktes des Inkreises zu den Seiten des Dreiecks ist nicht für jeden Punkt des Inkreises gleich.

  Lösung

  Jeder Winkel entsteht durch den Schnitt zweier Geraden. Der Schnittpunkt der Geraden heißt Scheitelpunkt des Winkels. Die an dem Schnitt einander gegenüberliegenden Winkel sind Gegenwinkel zueinander. Die beiden Halbgeraden, die einen Winkel einschließen, heißen Schenkel des Winkels. Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die genau in der Mitte zwischen den beiden Schenkeln eines Winkels verläuft. Sie ist daher stets auch die Winkelhalbierende des Gegenwinkels. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Inkreises. Er hat daher zu allen Seiten des Dreiecks denselben Abstand. Der Inkreis berührt jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt.

  So findest du folgende vollständigen Sätze:

  • Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden hat zu allen Seiten des Dreiecks denselben Abstand.

  • Der Inkreis eines Dreiecks berührt jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt.

  • Der Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und einem Schenkel ist halb so groß wie der Winkel zwischen den beiden Schenkeln.

  • Die Winkelhalbierende eines Winkels ist zugleich die Winkelhalbierende des Gegenwinkels.

• Beschrifte die geometrischen Elemente im Bild.

  Tipps

  Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

  Die Höhe in einem Dreieck ist eine Strecke, die durch einen Eckpunkt verläuft und senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht.

  Im Scheitelpunkt eines Winkels schneiden sich seine beiden Schenkel.

  Lösung

  In dem Bild siehst du verschiedene geometrische Größen. Ein Dreieck wird durch seine Seiten begrenzt. Zwei Seiten schließen je einen Winkel ein. Der Scheitelpunkt eines Winkels ist der Punkt, in dem sich die beiden Seiten schneiden, die den Winkel einschließen. Die beiden Halbgeraden, die einen Winkel bilden, heißen Schenkel des Winkels. Die Winkelhalbierende ist eine Strecke (oder Gerade oder Halbgerade), die durch den Scheitelpunkt des Winkels verläuft und diesen genau in der Mitte teilt.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Innenwinkel gleich, bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Innenwinkel gleich groß.

  Jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Seite hat zu den beiden Endpunkten dieser Seite denselben Abstand.

  Lösung

  Jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Dreiecksseite hat zu beiden Endpunkten der Seiten denselben Abstand. Dadurch hat der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks denselben Abstand und ist folglich der Mittelpunkt des Umkreises.

  Bei einem gleichseitigen Dreieck sind die Winkelhalbierenden zugleich Seitenhalbierende, Mittelsenkrechten und Höhen. Der Mittelpunkt des Umkreises ist daher auch der Mittelpunkt des Inkreises. Tatsächlich ist dies nur beim gleichseitigen Dreieck der Fall.

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Dreiecksseiten gleich lang und folglich die gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Die beiden gleich langen Seiten nennt man Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Die Winkel der Schenkel mit der Basis heißen Basiswinkel. Da die beiden Basiswinkel gleich groß sind, sind auch ihre Winkelhalbierenden gleich lang. Die Winkelhalbierende des dritten Winkels, also des Winkels zwischen den beiden Schenkeln, ist zugleich die Mittelsenkrechte der Basis.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Nur in einem gleichseitigen Dreieck ist jede Winkelhalbierende zugleich Seitenhalbierende.

  Ist die Winkelhalbierende eines Winkels zugleich Seitenhalbierende der gegenüberliegenden Seite, so sind die Schenkel des Winkels gleich lang, das Dreieck also gleichschenklig. Gilt dies für die Schenkel jedes Winkels, ist das Dreieck gleichseitig.

  • Sind Inkreis und Umkreis konzentrisch, so ist das Dreieck gleichseitig.

  Gleichseitige Dreiecke sind die einzigen, bei denen der Mittelpunkt von Inkreis und Umkreis identisch sind.

  • In einem gleichschenkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den beiden Schenkeln.

  Die Winkelhalbierende des Winkels zwischen den Schenkeln ist zugleich die Mittelsenkrechte der Basis und der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Sind in einem Dreieck zwei Winkelhalbierende gleich lang, so ist das Dreieck gleichseitig.

  Dies gilt auch für die Winkelhalbierenden der Basiswinkel eines gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreiecks.

  • Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises und des Umkreises.

  Die Aussage für den Inkreis ist richtig, die für den Umkreis ist falsch für nicht gleichseitige Dreiecke.

  • Ist die Mittelsenkrechte einer Seite die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels, so ist das Dreieck gleichseitig.

  Die Mittelsenkrechte der Basis eines gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreiecks ist ebenfalls die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels.