Kongruenzsätze – SSS

Kongruenzsätze – SSS Übung

• Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seitenlängen.

  Tipps

  Jeder Punkt der Kreislinie hat den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Kreises.

  Nach dem Kongruenzsatz $SSS$ sind zwei Dreiecke, die jeweils die gleichen Seitenlängen haben, kongruent zueinander.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Zunächst zeichnet sie die Seitenlänge $c$ und die Eckpunkte $A$ und $B$ ein.“

  • Möchtest du ein Dreieck konstruieren, musst du mit dem Zeichnen einer Seitenlänge beginnen.

  „Anschließend zeichnet sie einen Kreis mit der Länge der Strecke $b$ als Radius um den Punkt $A$. Danach zeichnet sie einen Kreis mit dem Radius $a$ um den Punkt $B$.“

  • Auf diese Weise findest du zwei Punkte, die von den Eckpunkten $A$ und $B$ jeweils die Abstände $b$ und $c$ haben. Das sind die zwei möglichen fehlenden Eckpunkte des zu konstruierenden Dreiecks.

  „Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Diese Punkte verbindet sie jeweils mit den Punkten $A$ und $B$. So erhält sie zwei Dreiecke, die kongruent zueinander sind.

  • Nach dem Kongruenzsatz $SSS$ sind zwei Dreiecke, die jeweils die gleichen Seitenlängen haben, kongruent zueinander. Die beiden so konstruierten Dreiecke erfüllen diese Voraussetzung, sind also kongruent.

• Beschreibe die Dreiecksungleichung.

  Tipps

  Ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt, funktioniert die Konstruktion eines Dreiecks auch nicht.

  Sind die beiden kleineren Längen eines Dreiecks kleiner als die längste Seite, ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Zur Konstruktion eines Dreiecks zeichnen wir die Seite $c$ ein und zeichnen Kreise mit den Seitenlängen $a$ und $b$ um die Eckpunkte $A$ und $B$.

  Die beiden Kreise schneiden sich hier jedoch in keinem Punkt. Die gegebenen Seitenlängen erfüllen nämlich die Dreiecksungleichung nicht.“

  • Ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt, funktioniert die Konstruktion eines Dreiecks auch nicht.

  „Diese Gleichung besagt, dass die Summe der beiden kleineren Seitenlängen größer sein muss als die größere Seitenlänge. Nur dann können wir ein Dreieck konstruieren. Hier gilt:

  $3~\text{cm}+4~\text{cm} =7~\text{cm}<9~\text{cm}$.

  Die Dreiecksungleichung ist also tatsächlich nicht erfüllt.“

  • Die Summe der beiden kleineren Längen ist kleiner als die größte Seitenlänge. Damit ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt und die Konstruktion eines Dreiecks nicht möglich.

• Ermittle, aus welchen Angaben du ein Dreieck konstruieren kannst.

  Tipps

  Für die eindeutige Konstruktion eines Dreiecks, werden mindestens drei Angaben (Seitenlängen oder Winkel) benötigt.

  Achtung! Damit du ein Dreieck konstruieren kannst, muss auch die Dreiecksungleichung erfüllt sein.

  Lösung

  Mit diesen Angaben kannst du kein eindeutiges Dreieck konstruieren:

  „Gegeben sind die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$ und $c=8~\text{cm}$.“

  • In diesem Fall ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt. Denn es gilt: $a+b < c$.

  „Ein Dreieck hat einen Winkel von $\alpha=40^{\circ}$ und eine Seitenlänge von $a=5~\text{cm}$.“

  • Hier sind nicht genug Angaben gegeben, um ein Dreieck zu konstruieren. Es werden mindestens drei Angaben des Dreiecks benötigt, um ein eindeutiges Dreieck zu konstruieren.

  Mit diesen Angaben kannst du ein Dreieck konstruieren:

  „Ein Dreieck hat die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$ und $b=4~\text{cm}$ sowie einen Winkel von $\gamma=30^{\circ}$.“

  • Hier sind zwei Seitenlängen und der Winkel zwischen den beiden Längen gegeben. Nach dem Kongruenzsatz $SWS$ sind alle Dreiecke, bei denen diese Angaben übereinstimmen, kongruent. Du kannst also mit diesen Angaben ein eindeutiges Dreieck konstruieren.

  „Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von $a=4~\text{cm}$.“

  • Ein gleichseitiges Dreieck hat dreimal die gleiche Seitenlänge. Auch hier sind also genug Angaben gegeben, um das Dreieck zu konstruieren.

  „Ein Dreieck hat die Seitenlängen $a=4~\text{cm}$ und $b=5~\text{cm}$ sowie einen Winkel von $\beta=50^{\circ}$.“

  • Hier kannst du mit dem $SSW$ Satz ein Dreieck konstruieren.

• Leite die fehlenden Punkte des Dreiecks ab.

  Tipps

  Du kannst die Koordinaten der Punkte ermitteln, indem du ein Dreieck aus den drei Seitenlängen konstruierst.

  Zeichne jeweils einen Kreis mit dem Radius $5$ um die Punkte $A$ und $B$.

  So sieht der Beginn der Zeichnung aus.

  Lösung

  Du kannst die Koordinaten der Punkte ermitteln, indem du ein Dreieck aus den drei Seitenlängen konstruierst. Zeichne dazu jeweils einen Kreis mit dem Radius $5$ um die Punkte $A$ und $B$. Diese Kreise schneiden sich zweimal. Im Punkt $C(3 \vert 4)$ und im Punkt $C'(3 \vert -4)$. Mit diesen beiden Punkten lassen sich zwei Dreiecke konstruieren, die kongruent zueinander sind.

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Kongruenzsätzen.

  Tipps

  Haben zum Beispiel zwei Dreiecke jeweils die gleichen Seitenlängen, sind sie kongruent.

  Spiegelst du ein Dreieck, bleiben Form und Größe des Dreiecks erhalten.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Sind zwei Dreiecke kongruent, dann können sie nicht deckungsgleich sein.“

  • Die Begriffe kongruent und deckungsgleich bedeuten dasselbe.

  „Gespiegelte Dreiecke sind nicht kongruent zueinander.“

  • Spiegelst du ein Dreieck, bleiben Form und Größe erhalten. Ein gespiegeltes Dreieck ist also kongruent zu seinem ursprünglichen Dreieck.

  „Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, müssen mindestens $4$ Eigenschaften der Dreiecke übereinstimmen.“

  • Für den Nachweis genügen $3$ Eigenschaften eines Dreiecks. Haben zum Beispiel zwei Dreiecke jeweils die gleichen Seitenlängen, sind sie kongruent.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Zwei Flächen sind deckungsgleich, wenn du sie so übereinanderlegen kannst, dass sie sich genau überdecken.“

  • Das ist eine Definition von Deckungsgleichheit.

  „Kongruente Dreiecke gleichen sich in Form und Größe.“

• Ermittle, welche Dreiecke kongruent sind.

  Tipps

  Du kannst herausfinden, welche Dreiecke kongruent sind, indem du die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest und du anschließend die Seitenlängen vermisst.

  Lösung

  Du kannst herausfinden, welche Dreiecke kongruent sind, indem du die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest und du anschließend die Seitenlängen vermisst. Die Dreiecke, die die gleichen Seitenlängen aufweisen, sind kongruent. So erhältst du:

  • Das Dreieck mit den Eckpunkten $A(0 \vert 0)$, $B(3 \vert 0)$ und $C(1 \vert 2)$ ist kongruent zu dem Dreieck mit den Seitenlängen $a=2,8~\text{cm}$, $b=2,2~\text{cm}$ und $c=3~\text{cm}$.

  • Das Dreieck mit den Eckpunkten $A(1 \vert 2)$, $B(3 \vert 4)$ und $C(2 \vert 5)$ ist kongruent zu dem Dreieck mit den Seitenlängen $a=1,4~\text{cm}$, $b=3,2~\text{cm}$ und $c=2,8~\text{cm}$ .

  • Die Punkte $A(0 \vert 1)$, $B(6 \vert 2)$ und $C(3 \vert 7)$ ergeben ein Dreieck, das kongruent zum Dreieck mit den Seitenlängen $a=5,8~\text{cm}$, $b=6,7~\text{cm}$ und $c=6,1~\text{cm}$ ist.

  • Die Punkte $A(1 \vert 1)$, $B(5 \vert 1)$ und $C(3 \vert 2)$ bilden ein Dreieck, das kongruent zum Dreieck mit den Seitenlängen $a=2,2~\text{cm}$, $b=2,2~\text{cm}$ und $c=4~\text{cm}$ ist.