Formeln in der Mathematik

Formeln in der Mathematik – Mathe

Ob bei der Berechnung von mathematischen Körpern oder bei der Arbeit mit Funktionen, Formeln begegnen uns im Matheunterricht ständig. Und auch in den Naturwissenschaften stoßen wir immer wieder auf sie. Aber wie schreibt man mathematische Formeln richtig und wie sind die Formeln in Mathe aufgebaut? Schauen wir uns Formeln in der Mathematik noch einmal gemeinsam an. In diesem Text werden mathematische Formeln einfach erklärt.

Was sind Formeln in der Mathematik?

Was genau versteht man unter dem Begriff Formel? Betrachten wir dafür die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks als Beispiel. Diese lautet:

$ A = a \cdot b$

Diese Formel stellt einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt sowie der Länge und der Breite eines Rechtecks dar. Jede Größe wird in der Formel durch eine Variable dargestellt. Das $A$ steht für den Flächeninhalt, $a$ steht für die Länge und $b$ für die Breite des Rechtecks. Rechenzeichen verknüpfen die verschiedenen Variablen in der Formel miteinander. Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks wird die Länge mit der Breite multipliziert. Das Gleichheitszeichen macht deutlich, dass es sich bei der Formel um eine Gleichung handelt. Das gilt für alle Formeln. Gleichungen verbinden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Somit besteht jede Formel aus mindestens zwei Termen.

• Formeln stellen einen Zusammenhang zwischen mathematischen Größen dar. Die mathematischen Größen werden durch Variablen verkörpert. Diese werden durch Rechenzeichen miteinander verknüpft.

Zur Berechnung müssen zwei der drei Werte bekannt sein. Diese können in die Formel eingesetzt werden, um so den gesuchten dritten Wert zu berechnen. Eine Formel kann jedoch auch aus mehr als drei Variablen bestehen. In diesem Fall müssen dementsprechend mehrere Werte gegeben sein. Ein gesuchter Wert kann nur dann berechnet werden, wenn alle anderen Werte bekannt sind.
Haben wir für das Rechteck eine Länge von $5\,\pu{cm}$ und eine Breite von $3\,\pu{cm}$ gegeben, so ergibt sich für den Flächeninhalt:

$ A = 5\,\pu{cm} \cdot 3\,\pu{cm} = 15\,\pu{cm^{2}}$

Als Flächeninhalt erhalten wir $15\,\pu{cm^{2}}$. Die Vorgehensweise zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks ist bei jedem Rechteck gleich. Formeln geben die Vorgehensweise in einer einfachen und einprägsamen Form wieder. Daraus wird deutlich:

• Formeln stehen in der Mathematik für Gesetzmäßigkeiten, Regeln, Vorschriften oder Definitionen.

In allen Bereichen der Mathematik gibt es Formeln und sie spielen auch in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle.

Mathematische Formeln – Beispiel

Betrachten wir ein weiteres Beispiel einer mathematischen Formel. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

$A = \dfrac{g \cdot h}{2}$

Die Variable $A$ steht wieder für den Flächeninhalt, $g$ steht für die Grundseite und $h$ für die dazugehörige Höhe. Die $2$ in der Formel ist eine Konstante. Konstanten sind feststehende Zahlenwerte.
Stellen wir uns folgende Aufgabe vor: Gegeben sind der Flächeninhalt $A=24\,\pu{cm^{2}}$ und $h_c=8\,\pu{cm}$, welches die Höhe auf der Grundseite $c$ ist. Die Grundseite $c$ ist hier die gesuchte Größe.

Betrachten wir die Grundformel. Die Variable $g$ können wir durch $c$ ersetzen, da dies die Grundseite ist, deren Länge wir berechnen wollen. Demnach können wir auch $h$ durch die gegebene Höhe $h_c$ ersetzen.

$A = \dfrac{c \cdot h_c}{2}$

Die Formel muss nun umgeformt werden, sodass $c$ alleine steht. Dafür multiplizieren wir zunächst beide Seiten mit $2$. Wir erhalten:

$\quad A = \dfrac{c \cdot h_c}{2} \quad \vert \cdot 2$

$ \,2\,A = c \cdot h_c$

Nun müssen wir noch durch $h_c$ teilen. Die nach $c$ umgestellte Formel lautet:

$ \, \,2\,A = c \cdot h_c \quad \vert : h_c$

$ \dfrac{2\,A}{h_c} = c$

Es ist übersichtlicher, die gesuchte Größe auf der linken Seite stehen zu haben. Dafür können wir einfach die beiden Seiten der Gleichung vertauschen und erhalten die folgende Formel für die gesuchte Größe $c$:

$c = \dfrac{2\,A}{h_c}$

Jetzt können die gegebenen Größen eingesetzt werden und es ergibt sich die Länge der Seite $c$:

$c = \dfrac{2 \cdot 24\,\pu{cm^{2}}}{8\,\pu{cm}} = \dfrac{48\,\pu{cm^{2}}}{8\,\pu{cm}} = 6\,\pu{cm}$

Die Seite $c$ ist $6\,\pu{cm}$ lang.
Eine genaue Anleitung zum Umstellen von Formeln findest du in diesem Video zum Thema Formeln umstellen.

Mathematische Formeln – Zusammenfassung

Was sind Formeln?

• Bei Formeln handelt es sich um Gleichungen, welche mathematische Größen in einen Zusammenhang bringen.
• Sie fassen Gesetzmäßigkeiten und Regeln in einer kompakten Schreibweise zusammen.
• Formeln kommen in allen Bereichen der Mathematik vor und spielen auch in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle.

Rechnen mit Formeln
Um herauszufinden, welche Formel du nutzen musst, kannst du dir folgende Fragen stellen:

• Welche Größe ist gesucht?
• Welche Größen sind gegeben?
• Welche Formel stellt den passenden Zusammenhang dar?
• Muss die Formel umgestellt werden?

Hast du die passende Formel gefunden und nach der gesuchten Größe umgestellt, dann kannst du die Lösung durch Einsetzen der bekannten Werte berechnen.

Willst du wissen, welche Formeln es in Mathe so gibt? Wichtige Formeln sind in sogenannten Formelsammlungen für Mathematik zusammengefasst. Oft ist eine kleine Formelsammlung auf den letzten Seiten in deinem Mathebuch zu finden.

Auf dieser Seite findest du noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Formeln in der Mathematik, passend zum Video.