Gleichungen in zwei Schritten lösen

Gleichungen in zwei Schritten lösen Übung

• Stelle die lineare Gleichung auf.

  Tipps

  Die Summe des Akkuverbrauchs für die Fotos und für das Video muss dem aktuellen Akkustand von $30\ \%$ entsprechen.

  Wenn $x$ die Anzahl der Fotos ist, dann lautet der Term für den Akkuverbrauch für Fotos so:

  • $x\cdot 2$.

  Lösung

  Folgende Daten sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt:

  aktueller Akkustand: $30\ \%$
  Akkuverbrauch pro Foto: $2\ \%$
  Akkuverbrauch pro Video: $8\ \%$

  Nun möchten wir eine Gleichung aufstellen, welche uns die Berechnung der Anzahl der Fotos, die Sanja noch machen darf, erlaubt. Wir möchten, dass Sanja für alle Fotos und ein Video genau $30\ \%$ Akku benötigt, dies entspricht ihrem aktuellen Akkustand. In Worten lautet die Gleichung, die wir für die Berechnung aufstellen müssen, folgendermaßen:

  Anzahl Fotos $\cdot$ Akkuverbrauch pro Foto $+$ Akkuverbrauch pro Video $=$ aktueller Akkustand.

  In unserer Gleichung soll $x$ für die Anzahl der Fotos stehen. Dann folgt:

  $x\cdot 2\ \%+8\ \%=30\ \%$.

  Vereinfacht resultiert folgende lineare Gleichung für die Berechnung der Anzahl der Fotos, die Sanja noch machen darf:

  $x\cdot 2+8=30$.

• Berechne die Unbekannte, indem du die lineare Gleichung in zwei Schritten löst.

  Tipps

  Im ersten Schritt werden gleichartige Terme mittels Umkehroperationen auf je eine Seite der Gleichung gebracht. Welchen Operator du benötigst, erkennst du an deiner Gleichung. Falls in deiner Gleichung beispielsweise eine Zahl addiert wird, nutzt du zum Umstellen die Umkehroperation, also die Subtraktion.

  Im zweiten Schritt wird die gesuchte Größe $x$ durch die jeweilige Umkehroperation isoliert.

  Lösung

  Um herauszufinden, wie viele Fotos Sanja von ihrer Lieblingsband noch machen darf, müssen wir die lineare Gleichung nach $x$ auflösen. Dies erfolgt in zwei Schritten:

  Schritt 1 Wir bringen gleichartige Terme auf je eine Seite unserer Gleichung. Dabei verwenden wir jeweils die Umkehroperation. Da in unserer Gleichung die $8$ addiert wird, müssen wir diese subtrahieren.

  Schritt 2 Wir isolieren die gesuchte Größe $x$ durch die jeweilige Umkehroperation. Da in unserer Gleichung die gesuchte Größe $x$ mit der $2$ multipliziert wird, müssen wir durch diese dividieren.

  Es folgt somit diese Rechnung:

  $ \begin{array}{llll} x\ \cdot\ 2\ +\ 8 & = & 30 && \vert -8 \\ x\ \cdot\ 2\ +\ 8\ -\ 8 & = & 30\ -\ 8 && \\ x\ \cdot\ 2 & = & 22 && \vert :2 \\ x\ \cdot\ 2\ :\ 2 & = & 22\ :\ 2 && \\ x & = & 11 && \\ \end{array} $

• Ermittle, wie viele Packungen Büroklammern Lena kaufen kann.

  Tipps

  Wenn $x$ für die Anzahl der Büroklammer-Packungen steht, dann ist das Produkt $x\cdot 6$ der Betrag, den Lena für die Büroklammern ausgeben muss.

  Schau dir folgendes Beispiel an. Die Rechenanweisungen befinden sich jeweils hinter dem Strich.

  $ \begin{array}{llll} x\ \cdot\ 2\ +\ 6 & = & 14 && \vert -6 \\ x\ \cdot\ 2 & = & 8 && \vert :2 \\ x & = & 4 && \\ \end{array} $

  Lösung

  Für die Berechnung der Anzahl der Büroklammer-Packungen, die Lena mit ihrem Restgeld noch kaufen kann, wird eine lineare Gleichung aufgestellt.

  Lena hat $25$ € und möchte damit einen Eisbecher für $7$ € und so viele Packungen Büroklammern wie möglich für je $6$ € kaufen.

  Somit resultiert folgende Gleichung für Lenas Problem:

  $x\cdot 6+7=25$.

  Diese Gleichung kann in zwei Rechenschritten wie folgt gelöst werden:

  $ \begin{array}{llll} x\ \cdot\ 6\ +\ 7 & = & 25 && \vert -7 \\ x\ \cdot\ 6 & = & 18 && \vert :6 \\ x & = & 3 && \\ \end{array} $

  Im ersten Schritt wird von der gesamten Gleichung die Zahl $7$ subtrahiert. Die Subtraktion ist hier die Umkehroperation, da in der Gleichung die $7$ addiert wird. Anschließend wird im zweiten Schritt die gesamte Gleichung durch die $6$ dividiert, um auf diese Weise die Unbekannte $x$ zu isolieren.

  Schließlich resultiert, dass Lena mit ihrem Restgeld $3$ Packungen Büroklammern kaufen kann.

• Bestimme die Unbekannten der jeweiligen linearen Gleichungen in zwei Schritten.

  Tipps

  1. Schritt: Gleichartige Terme durch die jeweilige Umkehroperation auf je eine Seite der Gleichung bringen.

  2. Schritt: Die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation isolieren.

  Schau dir das folgende Beispiel an:

  $ \begin{array}{lllll} &x\ \cdot\ 4\ +\ 8 & = & 32 && \vert -8 \\ \Leftrightarrow&x\ \cdot\ 4 & = & 24 && \vert :4 \\ \Leftrightarrow&x & = & 6 && \end{array} $

  Lösung

  Die gegebenen linearen Gleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformung jeweils in zwei Rechenschritten nach der Unbekannten $x$ umstellen.

  1. Schritt: Gleichartige Terme müssen durch die jeweilige Umkehroperation auf je eine Seite der Gleichung gebracht werden.

  2. Schritt: Die Unbekannte $x$ muss durch die jeweilige Umkehroperation isoliert werden.

  Nun führen wir diese Schritte an unseren drei Beispielen aus.

  Beispiel 1

  $ \begin{array}{lllll} &6\ \cdot\ x\ +\ 2 & = & 14 && \vert -2 \\ \Leftrightarrow&6\ \cdot\ x & = & 12 && \vert :6 \\ \Leftrightarrow&x & = & 2 && \\ \end{array} $

  Beispiel 2

  $ \begin{array}{lllll} &3\ \cdot\ x\ -\ 2 & = & 16 && \vert +2 \\ \Leftrightarrow&3\ \cdot\ x & = & 18 && \vert :3 \\ \Leftrightarrow&x & = & 6 && \\ \end{array} $

  Beispiel 3

  $ \begin{array}{llll} &7\ \cdot\ x\ +\ 4 & = & 25 && \vert -4 \\ \Leftrightarrow&7\ \cdot\ x & = & 21 && \vert :7 \\ \Leftrightarrow&x & = & 3 && \\ \end{array} $

• Gib diejenigen Gleichungen an, die linear sind.

  Tipps

  Die zu betrachtenden linearen Gleichungen haben diese Form:

  $a\cdot x+b=c$.

  Dabei sind $a$, $b$ und $c$ bekannte reelle Zahlen. $x$ ist die Unbekannte und kommt in einer linearen Gleichung nur in der ersten Potenz vor.

  Einige Beispiele könnten dir helfen.

  $ \begin{array}{lr} \text{lineare Gleichung:} & 3\cdot x+2=17 \\ \text{quadratische Gleichung:} & 3\cdot x^2+2=14 \\ \text{kubische Gleichung:} & 3\cdot x^3+2=26 \\ \end{array} $

  Lösung

  Eine Gleichung, in der die Unbekannte $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt (also $x^1$ bzw. $x$), wird lineare Gleichung genannt und hat die allgemeine Form $a\cdot x + b= c.$

  Diese Form liegt bei folgenden gegebenen Gleichungen vor.

  Gleichung 1

  $6\cdot x + 2 = 14$

  Gleichung 4

  $6 - x = 2$

  Gleichung 5

  $4-2\cdot x = -6$

  Die anderen beiden Gleichungen sind nicht linear.

  Gleichung 2

  Bei $2\cdot x^2-1=15$ kommt die Unbekannte $x$ in der zweiten Potenz vor. Gleichungen dieser Art sind quadratische Gleichungen.

  Gleichung 3

  Bei $5-x^3=-3$ handelt es sich um eine kubische Gleichung, da die Unbekannte $x$ in der dritten Potenz vorliegt.

• Ermittle jeweils die gesuchte lineare Gleichung und löse diese in zwei Schritten.

  Tipps

  Beim Aufstellen der gesuchten linearen Gleichung könntest du folgendermaßen vorgehen:

  $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Gesucht ist eine Zahl,...} & x \\ \text{...deren Doppeltes...} & 2\cdot x \\ \text{...um 6 verkleinert...} & 2\cdot x-6 \\ \text{...10 ergibt.} & 2\cdot x-6=10 \\ \hline \end{array} $

  Wir haben gelernt, dass lineare Gleichungen in zwei Schritten gelöst werden können.

  • 1. Schritt: Gleichartige Terme durch die jeweilige Umkehroperation auf je eine Seite der Gleichung bringen.
  • 2. Schritt: Die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation isolieren.

  Beispiel

  $ \begin{array}{lllll} &2\ \cdot\ x\ +\ 4 & = & 14 && \vert -4 \\ \Leftrightarrow&2\ \cdot\ x & = & 10 && \vert :2 \\ \Leftrightarrow&x & = & 5 && \\ \end{array} $

  Lösung

  Betrachten wir nun die gesuchten linearen Gleichungen. Für das bessere Verständnis werden die Beispiele ausführlich behandelt. Die Gleichungen werden hier Schritt für Schritt aufgestellt.

  Beispiel 1: Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Fünffaches um $10$ verkleinert $5$ ergibt.

  Die gesuchte Gleichung lautet:

  $5\cdot x-10=5$.

  Nun lösen wir die Gleichung in zwei Schritten:

  $ \begin{array}{lllll} &5\ \cdot\ x\ -\ 10 & = & 5 && \vert +10 \\ \Leftrightarrow&5\ \cdot\ x & = & 15 && \vert :5 \\ \Leftrightarrow&x & = & 3 && \\ \end{array} $

  Die gesuchte Zahl ist $x=3$.

  Beispiel 2: Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Fünffaches um $10$ verkleinert $15$ ergibt.

  Zu lösen ist die Gleichung:

  $5\cdot x-10=15$.

  Nun lösen wir die Gleichung in zwei Schritten:

  $ \begin{array}{lllll} &5\ \cdot\ x\ -\ 10 & = & 15 && \vert +10 \\ \Leftrightarrow&5\ \cdot\ x & = & 25 && \vert :5 \\ \Leftrightarrow&x & = & 5 && \\ \end{array} $

  Die gesuchte Zahl ist $x=5$.

  Beispiel 3: Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Dreifaches um $7$ vergrößert $-8$ ergibt.

  Unsere Gleichung lautet:

  $3\cdot x+7=-8$.

  Nun lösen wir die Gleichung in zwei Schritten:

  $ \begin{array}{lllll} &3\ \cdot\ x\ +\ 7 & = & -8 && \vert -7\\ \Leftrightarrow&3\ \cdot\ x & = & -15 && \vert :3 \\ \Leftrightarrow&x & = & -5 && \\ \end{array} $

  Die gesuchte Zahl ist $x=-5$.