Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen Übung

• Beschreibe, wie man die Lösung einer Gleichung nach dem Aufstellen bestimmen kann.

  Tipps

  Bei der Gleichung $5+2x=21$ ist die Variable $x$ die Unbekannte, die wir finden wollen. Wir starten damit, dass wir einen beliebigen Wert ausprobieren.

  Hier ist ein Beispiel:
  $3x-5=13$
  Setzen wir als Startwert für $x=3$ ein, so erhalten wir:
  $9-5\stackrel{?}{=}13$
  $\Rightarrow 4\neq13$
  Diese Gleichung ist falsch. Wir müssen also einen anderen Wert für $x$ einsetzen.

  Lösung

  Ist die Gleichung in Wortform gegeben, so müssen wir die mathematische Gleichung zunächst aufstellen.
  Beispiel: Das Doppelte einer Zahl ist gleich der Summe aus der Zahl und $3$.
  $2x=x+3$
  Anschließend wählen wir einen Startwert für die Unbekannte $x$, z. B. $x=1$.
  Wir setzen diesen Startwert für die Unbekannte $x$ ein und überprüfen die Gleichung:
  $2 \cdot 1 \stackrel{?}{=} 1+3$
  $\Rightarrow 2 \neq 4$
  Die Gleichung stimmt nicht, also ist $1$ nicht Lösung der Gleichung.
  Wir setzen also systematisch weitere Werte für die Unbekannte ein und grenzen so die Lösung immer weiter ein.
  $x=2$:
  $2 \cdot 2 \stackrel{?}{=} 2+3$
  $\Rightarrow 4 \neq 5$
  $2$ ist keine Lösung der Gleichung.
  $x=3$
  $2 \cdot 3 \stackrel{?}{=} 3+3$
  $\Rightarrow 6=6$
  Wir haben mit $x=3$ die Lösung der Gleichung gefunden, da beim Einsetzen des Werts eine wahre Gleichung herauskommt.

• Bestimme die Lösung der Gleichung durch geschicktes Probieren.

  Tipps

  Beispiel: $x=3$ ist Lösung folgender Gleichung:
  $2x-5=x-2$
  Einsetzen des Werts in die Gleichung ergibt nämlich:
  $2 \cdot 3 - 5 = 3-5$
  $1=1$

  Wir überprüfen, ob ein Wert Lösung einer Gleichung ist, indem wir ihn in die Gleichung für die Variable einsetzen. Wir berechnen dann beide Seiten der Gleichung. Wenn beide Seiten die gleiche Zahl ergeben, ist die Zahl Lösung der Gleichung. Ergeben sich links und rechts unterschiedliche Werte, so ist die Zahl keine Lösung der Gleichung.

  Lösung

  Der Startwert ist $x=5$. Wir setzen also für jedes $x$ in der Gleichung $5$ ein:
  $2 \cdot 5 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 5 -8$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $10+20\stackrel{?}{=}20-8$
  $30 \neq 12$
  $5$ ist also nicht die Lösung.

  Nun probieren wir es mit $x=10$.Wir setzen also für jedes $x$ in der Gleichung $10$ ein:
  $2 \cdot 10 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 10 -8$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $20+20\stackrel{?}{=}40-8$
  $40 \neq 32$
  $10$ ist also nicht die Lösung.

  Für $x=15$ erhalten wir folgende Rechnung:
  $2 \cdot 15 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 15 -8$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $30+20\stackrel{?}{=}60-8$
  $50 \neq 52$
  $15$ ist also nicht die Lösung.

  Schließlich versuchen wir es noch mit $x=14$ und erhalten:
  $2 \cdot 14 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 14 -8$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $28+20\stackrel{?}{=}56-8$
  $48=48$
  $14$ ist also die Lösung.

• Stelle eine Gleichung zu der Formulierung auf.

  Tipps

  • $3x$: das Dreifache einer Zahl
  • $5+x$: die Summe aus $5$ und einer Zahl
  • $x-3$: die Differenz aus einer Zahl und $3$

  Wird zum Doppelten einer Zahl $4$ addiert, so ist das Ergebnis das Dreifache der Zahl:
  $2x+4=3x$

  Lösung

  Zu den einzelnen Formulierungen können wir Terme und Rechenoperationen schreiben. Daraus bilden wir Gleichungen:

  Wird von einer Zahl $15$ subtrahiert, so ist dies gleich dem Doppelten der Zahl.

  • Von einer Zahl $15$ subtrahieren: $x-15$
  • Das Doppelte einer Zahl: $2x$

  $x-15=2x$

  Wird zum Dreifachen einer Zahl das Doppelte der Zahl addiert, so ist das Ergebnis $15$.

  • Das Dreifache einer Zahl: $3x$
  • Das Doppelte einer Zahl: $2x$

  $3x+2x=15$

  Die Summe aus $15$ und dem Vierfachen einer Zahl ist gleich der Differenz aus der Zahl und $6$.

  • Das Vierfache einer Zahl: $4x$
  • Die Summe aus $15$ und dem Vierfachen einer Zahl: $15+4x$
  • Die Differenz aus einer Zahl und $6$: $x-6$

  $15+4x=x-6$

  Wird von einer Zahl $8$ subtrahiert, so ist das Ergebnis das Dreifache der Zahl.

  • Von einer Zahl $8$ subtrahieren: $x-8$
  • Das Dreifache einer Zahl: $3x$

  $x-8=3x$

• Bestimme die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Wir können überprüfen, ob eine Zahl Lösung einer Gleichung ist, indem wir die Zahl für die Variable einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung dann stimmt.

  Beispiel: $~3x+4=10$
  Für $x=1$ folgt:

  $3 \cdot 1 + 4 \stackrel{?}{=} 10$
  $3+4\stackrel{?}{=}10$
  $7 \neq 10$

  $x=1$ ist nicht Lösung der Gleichung.

  Beispiel: $~3x+4=10$
  Für $x=2$ folgt:

  $3 \cdot 2 + 4 \stackrel{?}{=} 10$
  $6+4\stackrel{?}{=}10$
  $10 = 10$

  $x=2$ ist Lösung der Gleichung.

  Lösung

  Wir setzen jeweils die einzelnen Werte in die Gleichung ein und überprüfen, ob die Gleichung eine wahre Aussage liefert:

  Beispiel 1: $~3x+5=x+9$
  Wir wählen als Startwert $x=1$. Wir setzen also für jedes $x$ in der Gleichung $1$ ein:
  $3 \cdot 1 + 5 \stackrel{?}{=} 1 +9$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $8 \neq 10$
  $1$ ist also nicht die Lösung.
  Wir setzen nun $x=2$ ein:
  $3 \cdot 2 + 5 \stackrel{?}{=} 2 +9$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $11=11$
  $2$ ist also die Lösung.

  Beispiel 2: $~6=4x-8+2$
  Wir wählen als Startwert $x=4$ und setzen diesen in der Gleichung für $x$ ein:
  $6 \stackrel{?}{=} 4 \cdot 4 -8+2$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $6 \neq 10$
  $4$ ist also nicht die Lösung.
  Wir setzen nun $x=3$ ein:
  $6 \stackrel{?}{=} 4 \cdot 3 -8+2$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $6=6$
  $3$ ist also die Lösung.

  Beispiel 3: $~9x+x-3=6x+1$
  Wir wählen als Startwert $x=1$ und erhalten folgende Rechnung:
  $9 \cdot 1 + 1-3 \stackrel{?}{=} 6 \cdot 1 +1$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $7=7$
  $1$ ist also die Lösung.

  Beispiel 4: $~8-x=x:3$
  Wir wählen als Startwert $x=10$. Eingesetzt in die Gleichung folgt:
  $8-10 \stackrel{?}{=} 10:3$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $-2 \neq \frac{10}{3}$
  $10$ ist also nicht die Lösung.
  Wir setzen nun $x=6$ ein:
  $8-6 \stackrel{?}{=} 6:3$
  Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
  $2=2$
  $6$ ist also die Lösung.

• Gib die Gleichung in Worten an.

  Tipps

  Die Gleichung $3-4x=x+2$ lautet in Worten:
  Die Differenz aus $3$ und dem Vierfachen einer Zahl ist gleich der Summe aus der Zahl und $2$.

  • Die Summe ist das Ergebnis einer Plusaufgabe.
  • Die Differenz ist das Ergebnis einer Minusaufgabe.
  • Das Produkt ist das Ergebnis einer Malaufgabe.
  • Der Quotient ist das Ergebnis einer Geteiltaufgabe.

  Lösung

  Die Variable $x$ ist eine unbekannte Zahl. Der Term $3x$ ist das Dreifache der Zahl. Der Term $5x$ ist das Fünffache der Zahl. Auf der rechten Seite der Gleichung steht außerdem ein Minuszeichen, also eine Differenz. Wir können den Term $5x-8$ also in Worten als „Die Differenz aus dem Fünffachen und $8$“ ausdrücken. Das Dreifache der Zahl ($3x$) ist dann um $2$ kleiner als dieser Term.

• Bestimme die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Stelle zunächst eine passende Gleichung auf.

  Setze verschiedene plausible Werte für die Variable ein und überprüfe, ob die Gleichung stimmt.

  Lösung

  Wir stellen jeweils zuerst die Gleichung auf und bestimmen die Lösung dann durch Probieren:

  Beispiel 1

  Wird vom Doppelten einer Zahl $6$ subtrahiert, so ist das Ergebnis $4$.
  Die Gleichung lautet:
  $2x-6=4$
  Wir setzen ein: $x=5$:
  $2 \cdot 5 -6 = 4$
  $4=4$
  $5$ ist also die Lösung der Gleichung.

  Beispiel 2

  Die Summe aus einer Zahl und $2$ ist gleich der Differenz aus dem Vierfachen der Zahl und $22$.
  Die Gleichung lautet:
  $x+2=4x-22$
  Wir setzen ein: $x=8$:
  $8+2=4 \cdot 8 -22$
  $10 = 10$
  $8$ ist also die Lösung.

  Beispiel 3

  Wird eine Zahl mit $10$ multipliziert, so ist das Ergebnis gleich der Summe aus der Zahl und $9$.
  Die Gleichung lautet:
  $x \cdot 10 = x+9$
  Wir setzen ein: $x=1$
  $1 \cdot 10 = 1+9$
  $10=10$
  $1$ ist also die Lösung.