Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen Übung

• Stelle eine lineare Gleichung für Eriks Problem auf.

  Tipps

  Da Erik und Johanna für denselben Geldbetrag eingekauft haben, können wir ihre Ausgaben gleichsetzen.

  Ausgaben Johanna:

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

  Ausgaben Erik:

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

  Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik

  Hierbei fehlt uns nur eine Variable, nämlich „Preis Regenbogenblinky“. Jede andere Größe ist in der Aufgabe gegeben.

  Da ein Guppy nur $1$ € kostet, gilt Folgendes:

  Ausgaben Johanna:

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ 1

  also

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy

  Ausgaben Erik:

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ 1

  also

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy

  Lösung

  Uns ist bekannt, dass Johanna und Erik in der Zoohandlung das gleiche Geld ausgegeben haben. Davon hat sich Erik $10$ Guppys und $2$ Regenbogenblinkys gekauft, während Johanna $1$ Guppy und $5$ Regenbogenblinkys gekauft hat.

  Ihre Ausgaben setzen sich wie folgt zusammen:

  Ausgaben Johanna

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

  $\rightarrow ~$ $5\ \cdot$ Preis Regenbogenblinky $+\ 1\ \cdot\ 1$

  Ausgaben Erik

  Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

  $\rightarrow ~$ $2\ \cdot$ Preis Regenbogenblinky $+\ 10\ \cdot\ 1$

  Der Preis für einen Regenbogenblinky ist unbekannt. Diesen möchte Erik berechnen. Also ersetzen wir „Preis Regenbogenblinky“ mit der Variablen $x$. Da beide denselben Geldbetrag ausgegeben haben, gilt:

  Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik.

  Es folgt somit die gesuchte lineare Gleichung:

  $5\cdot x+1=2\cdot x+10$.

• Beschreibe das Vorgehen beim Umstellen einer linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten.

  Tipps

  Eine Gleichung dieser Art löst du in folgender Reihenfolge:

  1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen (z.B. Distributivgesetz) und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
  2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
  4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

  Schau dir das Vorgehen im folgenden Beispiel an.

  $ \begin{array}{llllll} &5\cdot(x+1)-2x & = & x+11 && \\ \Leftrightarrow&3x+5 & = & x+11 && \vert -5\\ \Leftrightarrow&3x & = & x+6 && \vert -x\\ \Leftrightarrow&2x & = & 6 && \vert :2\\ \Leftrightarrow&x & = & 3 && \end{array} $

  Lösung

  Betrachten wir die gegebene Ausgangsgleichung:

  $ 3\cdot (2x-5)+10 = 4x+9 \\ \\$

  Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichung anwenden:

  1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
  2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
  4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

  1. Schritt:
  Im ersten Schritt muss die linke Seite der Gleichung vereinfacht werden, indem die Klammern aufgelöst werden. Dazu wird das Distributivgesetz angewendet. Anschließend werden gleichartige Terme zusammengefasst.

  $ \begin{array}{llllll} &3\cdot (2x-5)+10 & = & 4x+9 && \\ \Leftrightarrow&6x-15+10 & = & 4x+9 && \\ \Leftrightarrow&6x-5 & = & 4x+9 && \end{array} $

  2. & 3. Schritt:
  Im zweiten Schritt müssen gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht werden. Dieser Schritt erfolgt mittels der jeweiligen Umkehroperation Addition oder Subtraktion. Zuerst wird auf beiden Seiten der Gleichung die $5$ addiert und $4x$ subtrahiert. Wieder werden gleichartige Terme zusammengefasst.

  $ \begin{array}{llllll} &6x-5 & = & 4x+9 && \vert +5 \\ \Leftrightarrow&6x-5+5 & = & 4x+9+5 && \\ \Leftrightarrow&6x & = & 4x+14 && \vert -4x \\ \Leftrightarrow&6x-4x & = & 4x+14-4x && \\ \Leftrightarrow&2x & = & 14 && \end{array} $

  4. Schritt:
  Im vierten Schritt muss die Gleichung nach der Variablen $x$ aufgelöst werden. Hierzu wird die Umkehroperation Division verwendet. Wir dividieren durch $2$.

  $ \begin{array}{llllll} &2x & = & 14 && \vert :2\\ \Leftrightarrow&2x:2 & = & 14:2 &&\\ \Leftrightarrow&x & = & 7 && \\ \end{array} $

• Bestimme die Lösung der linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten.

  Tipps

  Da Erik und Johanna wieder für denselben Geldbetrag eingekauft haben, können wir ihre Ausgaben gleichsetzen.

  Ausgaben Johanna:

  Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Goldfisch $\cdot$ Preis Goldfisch

  Ausgaben Erik:

  Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Schlange $\cdot$ Preis Schlange $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

  Bei den einzelnen Rechenschritten könnte dir ein Beispiel helfen.

  $ \begin{array}{lllll} 6x-2\cdot 5+5 & = & 4x+5+2\cdot 2 && \\ 6x-5 & = & 4x+9 && \vert +5 \\ 6x & = & 4x+14 && \vert -4x \\ 2x & = & 14 && \vert :2 \\ x & = & 7 && \end{array} $

  Lösung

  Für die Berechnung des Preises der Qualle sind folgende Angaben bezüglich Johannas und Eriks Einkauf bekannt:

  Einkauf Johanna:
  $2$ x Qualle
  $1$ x Goldfisch für je $10$ €

  Einkauf Erik:
  $1$ x Qualle
  $1$ x Schlange für je $15$ €
  $5$ x Guppy für je $1$ €

  Außerdem wissen wir, dass beide für ihren Einkauf gleich viel ausgegeben haben. Es gilt also:

  Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik.

  Die Ausgaben werden folgendermaßen berechnet:

  Ausgaben Johanna:
  Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Goldfisch $\cdot$ Preis Goldfisch
  $\rightarrow ~$ $2\cdot x+1\cdot 10$

  Ausgaben Erik:
  Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Schlange $\cdot$ Preis Schlange $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy
  $\rightarrow ~$ $1\cdot x+1\cdot 15+5\cdot 1 \\ \\$

  Somit resultiert folgende lineare Gleichung:

  $2\cdot x+1\cdot 10 = 1\cdot x+1\cdot 15+5\cdot 1$.

  Diese soll nun nach der Variablen $x$ umgestellt werden.

  $ \begin{array}{lllll} 2x+10 & = & x+20 && \vert -10\\ 2x& = & x+10 && \vert -x\\ x& = & 10&& \end{array} $

  Eine Qualle kostet also $10$ €.

• Bestimme die Unbekannte in den vorgegebenen linearen Gleichungen.

  Tipps

  Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichungen anwenden:

  1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen durch das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
  2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
  4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

  Zum Auflösen der Klammern, musst du das Distributivgesetz verwenden. Dieses lautet:

  $a\cdot (b+c) = ab+ac$.

  oder

  $a\cdot (b-c) = ab-ac$.

  Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung:

  $2\cdot (x+4)=2x+8$

  oder

  $2\cdot (x-4)=2x-8$.

  Lösung

  Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichungen anwenden:

  • 1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
  • 2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
  • 4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

  Dieses Vorgehen soll nun mittels der drei vorgegebenen Beispiele vorgeführt werden.

  Beispiel 1
  $ \begin{array}{lllll} \\ 2\cdot \left( 2x+4\right) & = & 2x+16 && \\ 4x+8 & = & 2x+16 && \vert -2x\\ 2x+8 & = & 16 && \vert -8\\ 2x & = & 8 && \vert :2\\ x & = & 4 \\ \end{array} $

  Beispiel 2
  $ \begin{array}{lllll} \\ 3\cdot \left( 4x-2\right) & = & 2\cdot (2x+5) && \\ 12x-6 & = & 4x+10 && \vert -4x\\ 8x-6 & = & 10 && \vert +6\\ 8x & = & 16 && \vert :8\\ x & = & 2 \\ \end{array} $

  Beispiel 3
  $ \begin{array}{lllll} \\ 6\cdot \left( 2x-2\right) & = & 2\cdot (2x+6) && \\ 12x-12 & = & 4x+12 && \vert -4x\\ 8x-12 & = & 12 && \vert +12\\ 8x & = & 24 && \vert :8\\ x & = & 2 \\ \end{array} $

• Berechne die Variable $x$ durch Umstellen der Gleichung.

  Tipps

  Nutze zunächst die Umkehroperationen Addition oder Subtraktion, um die gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite der Gleichung zu bringen.

  Isoliere anschließend die Variable $x$ durch Multiplikation oder Division.

  Ein Beispiel könnte dir helfen.
  $ \begin{array}{lllll} \\ 4x+5 & = & x+11 && \vert -5\\ 4x & = & x+6 && \vert -x\\ 3x & = & 6 && \vert :3\\ x & = & 2 && \end{array} $

  Lösung

  Um die Variable $x$ zu berechnen, muss die Gleichung nach $x$ umgestellt werden. Das bedeutet, dass die Variable $x$ allein stehen soll.

  Dafür werden zunächst mittels der jeweiligen Umkehroperation Addition oder Subtraktion die gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite der Gleichung gebracht. Anschließend wird die Variable $x$ mittels der jeweiligen Umkehroperation Division oder Multiplikation isoliert.

  Es resultiert folgende Rechnung:
  $ \begin{array}{lllll} \\ 5x+1 & = & 2x+10 && \vert -1\\ 5x & = & 2x+9 && \vert -2x\\ 3x & = & 9 && \vert :3\\ x & = & 3 && \end{array} $

  Ein Regenbogenblinky kostet also $3$ €. Erik müsste $3$ Guppys gegen einen Regenbogenblinky eintauschen.

• Bestimme die gesuchte lineare Gleichung und löse diese durch sinnvolles Umstellen.

  Tipps

  Beim Aufstellen der gesuchten linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten könntest du wie folgt vorgehen:

  Das Dreifache der gesuchten Menge um $3$ vermindert entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $6$ vermehrt.

  $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Das Dreifache der gesuchten Menge...} & 3\cdot x \\ \text{...um } 3 \text{ vermindert ...} & 3\cdot x-3 \\ \text{...entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge...} & 3\cdot x-3=2\cdot x \\ \text{...um } 6 \text{ vermehrt.} & 3\cdot x-3=2\cdot x+6 \\ \hline \end{array} $

  Versuche, deine lineare Gleichung mithilfe von Rechengesetzen und Umkehroperationen so umzustellen, dass gleichartige Terme jeweils auf einer Seite der Gleichung stehen. Isoliere im letzten Rechenschritt die Unbekannte $x$.

  Lösung

  Im Folgenden wird das Vorgehen am Beispiel der ersten Aufgabe dargelegt. Dazu soll die Aufgabe zunächst so zerlegt werden, dass die einzelnen Glieder der Gleichung Schritt für Schritt aufgestellt werden.

  Beispiel 1

  Angabe für die Menge von Magnesium:

  Das Achtfache der gesuchten Menge um $2$ vermindert entspricht dem Vierfachen der gesuchten Menge um $10$ vermehrt.

  $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Das Achtfache der gesuchten Menge...} & 8\cdot x \\ \text{...um } 2 \text{ vermindert...} & 8\cdot x-2 \\ \text{...entspricht dem Vierfachen der gesuchten Menge...} & 8\cdot x-2=4\cdot x \\ \text{...um } 10 \text{ vermehrt.} & 8\cdot x-2=4\cdot x+10 \\ \hline \end{array} $

  Die gesuchte lineare Gleichung und der dazugehörige Rechenweg lautet somit:

  $ \begin{array}{lllll} 8x-2 & = & 4x+10 && \vert -4x \\ 4x-2 & = & 10 && \vert +2 \\ 4x & = & 12 && \vert :4 \\ x & = & 3 \end{array} $

  Beispiel 2

  Angabe für die Menge von Kalium:

  Das Vierfache der gesuchten Menge um $6$ vermehrt entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $18$ vermehrt.

  Analog zum ersten Beispiel wird hier folgende lineare Gleichung aufgestellt:

  $ \begin{array}{lllll} 4x+6 & = & 2x+18 && \vert -2x \\ 2x+6 & = & 18 && \vert -6 \\ 2x & = & 12 && \vert :2 \\ x & = & 6 \end{array} $

  Beispiel 3

  Angabe für die Menge von Eisen:

  Das Fünffache der gesuchten Menge um $8$ vermindert entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $4$ vermehrt.

  Auch hier gilt dasselbe Vorgehen für die Herleitung der linearen Gleichung:

  $ \begin{array}{lllll} 5x-8 & = & 2x+4 && \vert -2x \\ 3x-8 & = & 4&& \vert +8 \\ 3x & = & 12 && \vert :3 \\ x & = & 4 \end{array} $