Der Anstieg
In diesem Text lernst du, wie man die Steigung einer Geraden berechnet. Die Steigung gibt an, wie steil die Gerade ist. Mit Beispielen lernst du positive (steigende) und negative (fallende) Steigungen sowie die Steigung von parallelen Geraden zur x-Achse kennen. Bist du interessiert? Diese und viele weitere Informationen findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Der Anstieg
Einführung: Steigung einer Geraden bestimmen
In diesem Text wird sich mit der Steigung einer Geraden beschäftigt. Diese Steigung wird auch Anstieg genannt. Aber wie berechnet man diese Steigung? Das schauen wir uns im Folgenden gemeinsam an.
Die Steigung einer Geraden berechnen
Der Anstieg ist ein Maß dafür, wie steil eine Gerade ist. Der Anstieg ist die Änderung der Höhe verglichen mit der Änderung der Breite oder horizontal zurückgelegten Strecke. Schauen wir uns die Formel für den Anstieg gemeinsam an:
$m = \dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x}$
Das $m$ steht für den Anstieg. Das Dreieck $\Delta$ ist der griechische Buchstabe Delta und steht für die Differenz. Das $y$ steht für die Höhe und das $x$ für die Breite. Zur Berechnung des Anstiegs benötigen wir also zwei Punkte, die auf der Geraden liegen.
Der erste Punkt ist in der Grafik als $P_1(x_1\vert y_1)$ gegeben und der zweite Punkt als $P_2(x_2 \vert y_2)$. Nun berechnen wir $\Delta\,y$, also die Differenz der $y$-Werte bzw. der Höhe, sowie $\Delta\,x$, also die Differenz der $x$-Werte bzw. der Breite.
$m = \dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Bei der Berechnung der Differenz muss beachtet werden, dass die Reihenfolge der Punkte gleich bleibt. Der Punkt $P_1$ ist immer der, der weiter links ist. Egal welche Punkte du auf der Geraden auswählst, der Anstieg ist immer derselbe. Jetzt können wir berechnen, wie steil der Anstieg ist. Schauen wir uns die Steigung einer Geraden anhand einiger Beispiele an.
Positive Steigung einer Geraden
Schauen wir uns zuerst die blaue Gerade auf der weiter unten folgenden Grafik an. Wir haben die beiden Punkte $P_1(6\vert 3)$ und $P_2(15 \vert 6)$ ausgewählt. Berechnen wir nun durch Einsetzen dieser Punkte den Anstieg der Geraden:
$m = \dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{6-3}{15-6} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
Der Anstieg $m$ hat also den Wert $\frac{1}{3}$.
Aber wie sieht es mit dem Anstieg bei einer weniger steilen Geraden aus? Betrachten wir dafür die grüne Gerade. Wir sehen, dass die beiden Punkte $P_1(5 \vert 5)$ und $P_2(15 \vert 7)$ auf der Geraden liegen. Berechnen wir hier ebenfalls den Anstieg und schauen, wie er sich verändert. Auch hier müssen wir die eingezeichneten Punkte in die Formel einsetzen.
$m = \dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{7-5}{15-5} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$
Der Anstieg ist in diesem Beispiel $\frac{1}{5}$.
Auf der steileren Geraden ist der Anstieg $\frac{1}{3}$ und auf der weniger steilen ist er $\frac{1}{5}$.
Merke dir: Die Gerade wird umso steiler, je größer der Betrag des Anstiegs ist.
Um das zu verstehen, müssen wir uns mit der negativen Steigung beschäftigen.
Negative Steigung einer Geraden
Schauen wir uns die folgende Gerade einmal genauer an und berechnen den Anstieg mit den eingezeichneten Punkten.
Wir wählen die beiden Punkte $P_1(3 \vert 6)$ und $P_2(15 \vert 2)$ aus und berechnen den Anstieg.
$m = \dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{2-6}{15-3} = \dfrac{-4}{12} = -\dfrac{1}{3}$
Der Anstieg der Rodelbahn ist $-\frac{1}{3}$. Ein negativer Anstieg bedeutet also, dass eine Gerade fällt.
Merke dir: Ist der Anstieg negativ, so fällt eine Gerade. Je größer der Betrag des Anstiegs, desto steiler fällt die Gerade.
Steigung einer Geraden parallel zur x-Achse
Schauen wir uns gemeinsam an, was mit dem Anstieg passiert, wenn eine Gerade parallel zur $x$-Achse verläuft.
Die gewählten Punkte liegen bei $P_1(3 \vert 3)$ und $P_2(16 \vert 3)$. Da es keinen Höhenunterschied gibt, ist $y_2-y_1 = 0$. Der Unterschied zwischen $x_2$ und $x_1$ ist $13$.
$m = \dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{3-3}{16-3} = \dfrac{0}{13} = 0$
Der Anstieg ist also $0$.
Merke dir: Verläuft eine Gerade parallel zur $x$-Achse, so ist ihr Anstieg immer gleich $0$.
Was passiert mit dem Anstieg, wenn die Gerade parallel zur $y$-Achse verläuft? In diesem Fall würde bei der Berechnung eine $0$ im Nenner herauskommen. Da man nicht durch $0$ teilen darf, ist der Anstieg nicht definiert.
Merke dir: Verläuft eine Gerade parallel zur $y$-Achse, so ist ihr Anstieg nicht definiert.
Zusammenfassung: Steigung Mathematik
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Anstieg einer Geraden zusammen.
- Sind zwei Punkte, die auf der Geraden liegen, bekannt, so lässt sich der Anstieg mit folgender Formel berechnen: $m = \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Der Anstieg ist positiv, wenn eine Gerade steigt.
- Der Anstieg ist negativ, wenn eine Gerade fällt.
- Der Anstieg ist $0$, wenn eine Gerade parallel zur $x$-Achse verläuft.
- Der Anstieg ist nicht definiert, wenn die Gerade parallel zur $y$-Achse verläuft.
Willst du dein neu erlerntes Wissen gleich ein bisschen festigen? Dann findest du hier bei sofatutor noch Arbeitsblätter und Übungen zur Berechnung der Steigung einer Gerade.
Transkript Der Anstieg
Der Yeti Leonetti und seine Frau Betty rodeln auf den Hängen des Himalayas. Während Leonetti seine Frau bergauf schiebt, nörgelt sie, es solle endlich schneller gehen. Für Leonetti ist das Schwerstarbeit: er schnauft und keucht vor Anstrengung! Aber warum ist es so schwer?
Was ist die Steigung in einer Funktion?
Dafür gibt es eine mathematische Erklärung: Den Anstieg! Der Anstieg ist ein Maß, das aussagt, wie steil eine Gerade ist. Stell dir vor, du zeichnest eine Gerade entlang des Berghangs. Der Anstieg ist die Änderung der Höhe verglichen mit der Änderung der Breite.
Formel für die Steigung
Lass uns die Formel für den Anstieg gemeinsam anschauen. Das M bedeutet Anstieg. Das Dreieck hier ist der griechische Buchstabe Delta und steht für die Differenz. Um herauszufinden, wie groß der Anstieg ist, wähle zwei Punkte auf der Geraden und berechne Delta Y, also die Differenz der Y-Werte oder Höhe, sowie Delta-X, also die Differenz der X-Werte oder Breite. Achte bei der Berechnung der Differenzen darauf, dass die Reihenfolge der Punkte gleich bleibt!
Beispiel 1 - Positive Steigung
Jetzt können wir herausfinden, wie steil der Anstieg von Leonettis Route ist während er seine Frau den Berg hochschiebt. Zeichne eine Gerade entlang des Berghangs und wähle zwei beliebige Punkte auf dieser Geraden aus...Bestimme jetzt für beide Punkte das geordnete Paar x y und setze sie in die Formel ein. 6 - 3 = 3 und 15 − 6 = 9. Dieser Bruch kann gekürzt werden. Deshalb ist der Anstieg 1/3.
Beispiel 2 - Positive Steigung
Aber was passiert, wenn der Steigungswinkel anders ist? Stell dir vor, Leonetti und Betty fahren eine andere Strecke - eine die nicht so steil ist. Dann ist es für Leonetti nicht so schwer, Betty bergauf zu schieben. Wie unterscheidet sich der Anstieg? Benutze, genau wie eben, die Formel für den Anstieg: m ist die Änderung der y-Werte geteilt durch die Änderung der x-Werte. 1 : 5 = 1/5. Übrigens: Egal welche Punkte du auf der Geraden auswählst, der Anstieg ist immer gleich.
Auf der steileren Strecke ist der Anstieg 1/3, und auf der weniger steilen 1/5. Kann man also sagen, dass die Gerade umso steiler wird, je größer der Anstieg ist? In DIESEM Fall trifft das zu, aber die Regel lautet eigentlich: die Gerade wird umso steiler, je größer der ABSOLUTE WERT des Anstiegs ist.
Beispiel 3 - Negative Steigung
In beiden Fällen schiebt Leonetti seine Frau bergauf! Vielleicht fragst du dich jetzt: was passiert wenn die Yetis bergab rodeln? Gute Frage! Um dies zu veranschaulichen, nehmen wir ein paar neue Zahlen in die Anstiegsformel. 2 - 6 = -4. Und 15 - 3 = 12. Teilt man nun -4 durch 12 ergibt sich der Anstieg -1/3. Heißt das... dass ein negativer Anstieg bedeutet, dass die Gerade fällt? Genau! Und je größer der Betrag ist, desto steiler ist die Gerade? Du hast es erfasst!
Beispiel 4 - Neutrale Steigung
Leonetti und seine Frau sind nun auf einer geraden Ebene. Diesmal ZIEHT Leonetti seine Frau durch den Schnee. Wie immer meckert sie, dass es zu langsam sei. Was passiert mit dem Anstieg, wenn die Gerade weder steigt noch fällt? Da es keinen Höhenunterschied gibt, ist Y2 minus Y1 gleich Null. X2 minus X1 ist 13. Der Anstieg ist deshalb 0 durch 13, also 0. Und was passiert, wenn wir eine neue Gerade zeichnen, die parallel dazu ist? Der Anstieg ist gleich! Nämlich 0.
Steigung Übersicht
Hier ist eine tolle Grafik, die hilft, dir all das zu merken. Nein, das ist kein Tannenbaum ... es ist ein Anstiegsbaum! Wenn die Gerade steigt, ist der Anstieg positiv. Wenn die Gerade fällt, ist der Anstieg negativ. Wenn die Gerade parallel zur X-Achse verläuft, ist der Anstieg 0. Und der Baumstamm? Was passiert, wenn die Gerade parallel zur Y-Achse verläuft? In diesem Fall würde eine 0 im Nenner stehen. Und wir wissen alle, dass man nicht durch 0 teilen kann. Deswegen ist der Anstieg nicht definiert. Und... was bedeutet all dies für Leonetti und seine meckernde Frau Betty?
Der Anstieg Übung
-
Bestimme, welche Steigung (oder Anstieg) der Berg hat.
TippsAchte auf die Reihenfolge bei den Differenzen:
Es ist egal, mit welchem Punkt du beginnst. Du musst jedoch die Reihenfolge sowohl im Zähler als auch im Nenner beibehalten.
Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.
Merke dir für die Steigung: Höhe dividiert durch Breite.
Du kürzt einen Bruch, indem du Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler teilst.
LösungZur Berechnung der Steigung wird die Formel
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
verwendet:
- $\Delta y$ steht für die Änderung der Höhe und
- $\Delta x$ für die der Breite.
$m=\frac{6-3}{15-6}=\frac{3}{9}=\frac13$
Wichtig ist dabei, die Reihenfolge bei den Differenzen zu beachten: Diese muss in Zähler und Nenner gleich sein.
-
Beschrifte die Skizze zur Steigungsformel.
TippsDie Änderung in der Höhe kann ebenso wie die der Breite auf drei verschiedene Arten angegeben werden.
Ersetze oben in der Formel die $x$- und $y$-Werte durch die Koordinaten der angegebenen Punkte.
Merke dir:
Steigung gleich Höhe dividiert durch Breite.
LösungEs wird die folgende Formel zur Berechnung der Steigung verwendet:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Dabei ist
- $m$ die Steigung oder der Anstieg der Geraden
- $\Delta$ ist der griechische Großbuchstabe für Differenz. Dadurch wird die Änderung angezeigt.
- dann ist $\Delta y=y_2-y_1$ die Differenz der y-Koordinaten, also die Änderung der Höhe
- und $\Delta x=x_2-x_1$ die Differenz der x-Koordinaten, also die Änderung der Breite
Dies kann man sich an diesem Beispiel klarmachen: $P_1(6|3)$ sowie $P_2(15|6)$
$P_1$ "zuerst"
$m=\frac{3-6}{6-15}=\frac{-3}{-9}=\frac13$
$P_2$ "zuerst"
$m=\frac{6-3}{15-6}=\frac{3}{9}=\frac13$
-
Gib die Steigung (den Anstieg) der einzelnen Geraden an.
TippsBetrachte bei jeder der Geraden zwei gut ablesbare Punkte, um die Steigung zu berechnen.
Zum Beispiel liegen die Punkte $(0|2)$ sowie $(4|3)$ auf der pinken Geraden.
Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen, haben die Steigung $0$, da die y-Koordinaten aller Punkte übereinstimmen.
Beachte, dass eine (von links nach rechts) steigende Gerade eine positive Steigung hat.
LösungUm die Formel
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
zu verwenden, benötigt man zu jeder der Geraden zwei Punkte.
Wir starten mit der blauen Geraden und wählen $(0|6)$ sowie $(1|4)$:
$\quad ~~~~m=\frac{4-6}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2$
Nun schauen wir uns die grüne Gerade und $(0|3)$ sowie $(4|3)$ an:
$\quad ~~~~m=\frac{3-3}{4-0}=\frac04=0$
Für die pinke Gerade betrachten wir die Punkte $(0|2)$ sowie $(4|3)$:
$\quad ~~~~m=\frac{3-2}{4-0}=\frac14$
Zuletzt die orangefarbene Gerade mit $(0|1)$ sowie $(1|2)$:
$\quad ~~~~m=\frac{2-1}{1-0}=\frac11=1$
-
Bestimme den Anstieg (die Steigung) der verschiedenen Routen, die die Yetis nehmen könnten.
TippsJe größer der Betrag der Steigung, desto steiler die Gerade.
Verwende die Formel zur Berechnung der Steigung:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Alle Steigungen sind positiv. Armer Leonetty.
Achte darauf, dass die Reihenfolge bei den Differenzen in Zähler und Nenner übereinstimmen: $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$, also rechnest du:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
LösungFür jede der Routen verwenden wir die Formel
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Nun schauen wir uns die verschiedenen Routen an.
Die „Anden mal anders“-Route:
$\quad ~~~~m=\frac{4-2}{5-1}=\frac24=\frac12$
Die „romantische Aussicht“-Route:
$\quad ~~~~m=\frac{5-3}{4-2}=\frac22=1$
Die „Abenteuer Anden“-Route:
$\quad ~~~~m=\frac{7-1}{4-1}=\frac63=2$
Die „Über den Wolken“-Route:
$\quad ~~~~m=\frac{10-4}{3,5-2}=\frac6{1,5}=4$
Die beste Route für Leonetty wäre also die „Anden mal anders“-Route. Was für ein Pech für ihn, dass Betty sich für die „Über den Wolken“-Route begeistert...
-
Beschreibe, wie der Anstieg die Lage einer Geraden im Koordinatensystem beeinflusst.
TippsSchau dir die beiden Punkte auf der zur x-Achse parallelen Geraden an: $(3|3)$ und $(5|3)$.
Verwende die Formel
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,
um die Steigung der Geraden durch diese Punkte zu berechnen.
Was passiert, wenn du die Punkte $(3|3)$ und $(3|5)$ in diese Formel einsetzt?
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Beachte: Es ist nicht erlaubt, durch $0$ zu teilen.
LösungHier ist der Anstiegsbaum nochmal zu sehen:
- Auf der linken Seite steigt die Gerade - hier ist der Anstieg (oder die Steigung) positiv.
- Rechts fällt die Gerade: die Steigung ist negativ.
- Parallel zum Boden, der x-Achse im Koordinatensystem, ist die Steigung $0$. Alle Geraden parallel zur x-Achse haben die Steigung $0$.
- Was ist mit dem Baumstamm? Dieser verläuft parallel zur y-Achse. Wenn man zwei verschiedene Punkte auf einer solchen Geraden betrachtet, haben sie die gleiche x-Koordinate. Das bedeutet, dass bei der Formel zur Bestimmung der Steigung im Nenner $0$ steht. Da das Dividieren durch $0$ nicht möglich ist, ist die Steigung in diesem Fall nicht definiert.
-
Berechne die Höhe des Berges, den die Yetis besteigen.
TippsDie x-Koordinate des Gipfels beträgt $x=15+20=35$. Die entsprechende y-Koordinate ist die unbekannte Höhe.
Verwende die Formel
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze die bekannten Größen ein.
Forme die obige Gleichung nach der unbekannten y-Koordinate um.
LösungDa haben sich die Yetis aber ganz schön was vorgenommen! Lass uns mal sehen, wie du bei diesem Problem vorgehen musst:
Bekannt sind:
- Die Steigung $m = 2$
- ein Punkt $(15|7)$
- sowie die x-Koordinate des Gipfels, nämlich $x=15+20=35$.
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze hier alle bekannten Größen ein.
$2=\frac{y_2-7}{35-15}=\frac{y_2-7}{20}$.
$y_2$ ist die gesuchte Höhe, alle anderen Werte kennst du. Nun wird mit $20$ multipliziert, und du erhältst:
$40=y_2-7$
Zuletzt kann $7$ addiert werden:
$y_2=47$.
Dies ist die gesuchte Höhe des Berges. Was für ein Glück für die Yetis, dass die Hütte nicht ganz unten am Fuß des Berges liegt!
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OMG, das Ende war total Witzig XD ! Verdient sie auch...! (aber immernoch: armer Leonetti : ( ...)
Das Video war super! Wie immer ;) <3 !!
Danke suppppppper Video!! Ich habe es endlich verstanden!
Hallo Sftt,
bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
Liebe Grüße aus der Redaktion