Der Anstieg

Der Anstieg Übung

• Bestimme, welche Steigung (oder Anstieg) der Berg hat.

  Tipps

  Achte auf die Reihenfolge bei den Differenzen:

  Es ist egal, mit welchem Punkt du beginnst. Du musst jedoch die Reihenfolge sowohl im Zähler als auch im Nenner beibehalten.

  Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

  Merke dir für die Steigung: Höhe dividiert durch Breite.

  Du kürzt einen Bruch, indem du Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler teilst.

  Lösung

  Zur Berechnung der Steigung wird die Formel

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

  verwendet:

  • $\Delta y$ steht für die Änderung der Höhe und
  • $\Delta x$ für die der Breite.

  Nun kann der Anstieg der Geraden durch die beiden Punkte $(6|3)$ sowie $(15|6)$ berechnet werden:

  $m=\frac{6-3}{15-6}=\frac{3}{9}=\frac13$

  Wichtig ist dabei, die Reihenfolge bei den Differenzen zu beachten: Diese muss in Zähler und Nenner gleich sein.

• Beschrifte die Skizze zur Steigungsformel.

  Tipps

  Die Änderung in der Höhe kann ebenso wie die der Breite auf drei verschiedene Arten angegeben werden.

  Ersetze oben in der Formel die $x$- und $y$-Werte durch die Koordinaten der angegebenen Punkte.

  Merke dir:

  Steigung gleich Höhe dividiert durch Breite.

  Lösung

  Es wird die folgende Formel zur Berechnung der Steigung verwendet:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung oder der Anstieg der Geraden
  • $\Delta$ ist der griechische Großbuchstabe für Differenz. Dadurch wird die Änderung angezeigt.

  Wenn die Punkte $(x_1| y_1)$ sowie $(x_2|y_2)$ gegeben sind,

  • dann ist $\Delta y=y_2-y_1$ die Differenz der y-Koordinaten, also die Änderung der Höhe
  • und $\Delta x=x_2-x_1$ die Differenz der x-Koordinaten, also die Änderung der Breite

  Es ist dabei egal, welcher Punkt als „erster“ oder „zweiter“ gewählt wird. Wichtig ist nur, die Reihenfolge sowohl im Zähler als auch im Nenner beizubehalten.

  Dies kann man sich an diesem Beispiel klarmachen: $P_1(6|3)$ sowie $P_2(15|6)$

  $P_1$ "zuerst"

  $m=\frac{3-6}{6-15}=\frac{-3}{-9}=\frac13$

  $P_2$ "zuerst"

  $m=\frac{6-3}{15-6}=\frac{3}{9}=\frac13$

• Gib die Steigung (den Anstieg) der einzelnen Geraden an.

  Tipps

  Betrachte bei jeder der Geraden zwei gut ablesbare Punkte, um die Steigung zu berechnen.

  Zum Beispiel liegen die Punkte $(0|2)$ sowie $(4|3)$ auf der pinken Geraden.

  Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen, haben die Steigung $0$, da die y-Koordinaten aller Punkte übereinstimmen.

  Beachte, dass eine (von links nach rechts) steigende Gerade eine positive Steigung hat.

  Lösung

  Um die Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  zu verwenden, benötigt man zu jeder der Geraden zwei Punkte.

  Wir starten mit der blauen Geraden und wählen $(0|6)$ sowie $(1|4)$:

  $\quad ~~~~m=\frac{4-6}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2$

  Nun schauen wir uns die grüne Gerade und $(0|3)$ sowie $(4|3)$ an:

  $\quad ~~~~m=\frac{3-3}{4-0}=\frac04=0$

  Für die pinke Gerade betrachten wir die Punkte $(0|2)$ sowie $(4|3)$:

  $\quad ~~~~m=\frac{3-2}{4-0}=\frac14$

  Zuletzt die orangefarbene Gerade mit $(0|1)$ sowie $(1|2)$:

  $\quad ~~~~m=\frac{2-1}{1-0}=\frac11=1$

• Bestimme den Anstieg (die Steigung) der verschiedenen Routen, die die Yetis nehmen könnten.

  Tipps

  Je größer der Betrag der Steigung, desto steiler die Gerade.

  Verwende die Formel zur Berechnung der Steigung:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

  Alle Steigungen sind positiv. Armer Leonetty.

  Achte darauf, dass die Reihenfolge bei den Differenzen in Zähler und Nenner übereinstimmen: $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$, also rechnest du:

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Lösung

  Für jede der Routen verwenden wir die Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Nun schauen wir uns die verschiedenen Routen an.

  Die „Anden mal anders“-Route:

  $\quad ~~~~m=\frac{4-2}{5-1}=\frac24=\frac12$

  Die „romantische Aussicht“-Route:

  $\quad ~~~~m=\frac{5-3}{4-2}=\frac22=1$

  Die „Abenteuer Anden“-Route:

  $\quad ~~~~m=\frac{7-1}{4-1}=\frac63=2$

  Die „Über den Wolken“-Route:

  $\quad ~~~~m=\frac{10-4}{3,5-2}=\frac6{1,5}=4$

  Die beste Route für Leonetty wäre also die „Anden mal anders“-Route. Was für ein Pech für ihn, dass Betty sich für die „Über den Wolken“-Route begeistert...

• Beschreibe, wie der Anstieg die Lage einer Geraden im Koordinatensystem beeinflusst.

  Tipps

  Schau dir die beiden Punkte auf der zur x-Achse parallelen Geraden an: $(3|3)$ und $(5|3)$.

  Verwende die Formel

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,

  um die Steigung der Geraden durch diese Punkte zu berechnen.

  Was passiert, wenn du die Punkte $(3|3)$ und $(3|5)$ in diese Formel einsetzt?

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Beachte: Es ist nicht erlaubt, durch $0$ zu teilen.

  Lösung

  Hier ist der Anstiegsbaum nochmal zu sehen:

  • Auf der linken Seite steigt die Gerade - hier ist der Anstieg (oder die Steigung) positiv.
  • Rechts fällt die Gerade: die Steigung ist negativ.
  • Parallel zum Boden, der x-Achse im Koordinatensystem, ist die Steigung $0$. Alle Geraden parallel zur x-Achse haben die Steigung $0$.
  • Was ist mit dem Baumstamm? Dieser verläuft parallel zur y-Achse. Wenn man zwei verschiedene Punkte auf einer solchen Geraden betrachtet, haben sie die gleiche x-Koordinate. Das bedeutet, dass bei der Formel zur Bestimmung der Steigung im Nenner $0$ steht. Da das Dividieren durch $0$ nicht möglich ist, ist die Steigung in diesem Fall nicht definiert.

• Berechne die Höhe des Berges, den die Yetis besteigen.

  Tipps

  Die x-Koordinate des Gipfels beträgt $x=15+20=35$. Die entsprechende y-Koordinate ist die unbekannte Höhe.

  Verwende die Formel

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Setze die bekannten Größen ein.

  Forme die obige Gleichung nach der unbekannten y-Koordinate um.

  Lösung

  Da haben sich die Yetis aber ganz schön was vorgenommen! Lass uns mal sehen, wie du bei diesem Problem vorgehen musst:

  Bekannt sind:

  • Die Steigung $m = 2$
  • ein Punkt $(15|7)$
  • sowie die x-Koordinate des Gipfels, nämlich $x=15+20=35$.

  Nun kannst du die Formel zur Berechnung der Steigung verwenden:

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Setze hier alle bekannten Größen ein.

  $2=\frac{y_2-7}{35-15}=\frac{y_2-7}{20}$.

  $y_2$ ist die gesuchte Höhe, alle anderen Werte kennst du. Nun wird mit $20$ multipliziert, und du erhältst:

  $40=y_2-7$

  Zuletzt kann $7$ addiert werden:

  $y_2=47$.

  Dies ist die gesuchte Höhe des Berges. Was für ein Glück für die Yetis, dass die Hütte nicht ganz unten am Fuß des Berges liegt!