Lineare Funktionen – Definition

Lineare Funktionen – Definition Übung

• Beschreibe lineare Funktionen.

  Tipps

  Die Wachstumsrate $m$ gibt an, ob der Graph steigt oder fällt

  $f(x) = x + 2$

  Lösung

  Eine lineare Funktion $f$ kann man in der folgenden Form darstellen:

  $f(x) = m \cdot x + b$

  Die Wachstumsrate $m$ heißt dann auch die Steigung der linearen Funktion. Diese Beziehnung kann man im Koordinatensystem nachvollziehen: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Diese steigt von links nach rechts an, falls $m >0$. Die Steigung $m$ ist ein Maß dafür, um wie viele Einheiten auf der $y$-Achse der Funktionswert $f(x)$ ansteigt, wenn man auf der $x$-Achse von links nach rechts voranschreitet. Der $y$-Achsen-Abschnitt $b$ ist dasselbe wie der Funktionswert an der Stelle $x=0$. Er entspricht genau dem Wert $b$ auf der $y$-Achse, an dem der Graph die $y$-Achse schneidet. Ist der $y$-Achsen-Abschnitt $b=0$, so verläuft die Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems, d. h. durch den Punkt $(x|y)=(0|0)$.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Eine lineare Funktion ist von dieser Form:

  $f(x) = m \cdot x + b$

  Berechne den Funktionswert an der Stelle $x=0$ für die lineare Funktion:

  $f(x) = m \cdot x + b$

  $f(0) = 0 \cdot x + b = ?$

  Zu jedem Wert der Variable $x$ gehört genau ein Funktionswert. Hat die lineare Funktion einen $y$-Achsenabschnitt $b \neq 0$, so kann sie nicht durch den Ursprung verlaufen.

  Lösung

  Lineare Funktionen haben eine konstante Wachstumsrate $m$. Eine lineare Funktion kann man daher immer in folgender Form darstellen:

  $f(x) = m \cdot x + b$

  Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist identisch mit dem Funktionswert bei $x=0$, denn $f(0) = m \cdot 0 + b = 0+b =b$. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit Steigung $m$. Diese Gerade schneidet die $y$-Achse bei dem Wert $b$. Sie verläuft also genau dann durch den Ursprung wenn $b=0$.

  Das führt auf folgende korrekte Sätze:

  • Eine lineare Funktion hat eine konstante Wachstumsrate.

  • Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

  • Der $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$.

  • Die Steigung einer linearen Funktion ist der Koeffizient von $x$ in der Funktionsgleichung.

  • Der Ursprung des Koordinatensystems gehört zum Graph der linearen Funktion $f(x) =m \cdot x + b$, falls $b=0$.

• Erschließe anhand gegebener Werte die lineare Funktion.

  Tipps

  Gehe systematisch vor: Berechne für jede der angegebenen Funktionen den Funktionswert an der Stelle $x=1$ und ordne die Wertepaare $x=1$, $f(x)=?$ der jeweils passenden Funktion zu. Mache dasselbe danach für die anderen gegebenen $x$.

  Bei einer linearen Funktion $f(x) = m \cdot x + b$ ist $b$ der Funktionswert bei $x=0$.

  Der Funktionswert der Funktion $f(x) = 3 \cdot x + 5$ an der Stelle $x= 0,5$ ist

  $f(0,5) = 3 \cdot 0,5 + 5 = 1,5 + 5 = 6,5$.

  Lösung

  Olivia beschreibt die verschiedensten Vorgänge auf der Erde durch lineare Funktionen. Wie zutreffend die Beschreibung jeweils ist, wird sich durch Messungen zeigen. Hier interessieren uns nur die durch die Funktionsgleichungen vorgegebenen Funktionswerte. In der Aufgabe sind jeweils Paare von Stellen $x$ und Funktionswerten $f(x)$ gegeben. Du kannst sie zuordnen, indem du die Stellen $x$ in die verschiedenen Funktionen $f$ einsetzt und die Funktionswerte $f(x)$ berechnest.

  So erhältst du folgende Zuordnungen:

  $f(x) = 2x-1$

  • Zu der Stelle $x=5$ gehört der Funktionswert $f(x) = 2 \cdot 5 -1 = 9$.
  • Für $x=-2$ erhältst du $f(x) = 2 \cdot (-2) +1 = -5$.
  • Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist der $y$-Achsenabschnitt $b=f(x) = -1$.

  $f(x) = -2x+1$

  • Zu der Stelle $x=1$ gehört der Funktionswert $f(x) = -2 \cdot 1+1 =-1$.
  • Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist der $y$-Achsenabschnitt $b=f(x) = 1$.

  $f(x) = x+2$

  • An der Stelle $x=5$ erhalten wir den Funktionswert $f(x) = 5 + 2 = 7$.
  • Bei $x=1$ ist $f(x) = 1+2=3$.
  • Setzt du $x=-2$ ein, so erhältst du $f(x) = -2+2=0$.
  • Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist wieder der $y$-Achsenabschnitt, hier also $b=f(x) = 2$.

  $f(x) = -3x-2$

  • Bei $x=1$ kommst du auf $f(x) = (-3) \cdot 1 -2 = -5$.
  • An der Stelle $x=-2$ findest du den Funktionswert $f(x) = (-3) \cdot (-2) -2 = 6-2 = 4$.
  • Schließlich ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$ erneut der $y$-Achsenabschnitt $b=f(x) = (-3) \cdot 0-2 = -2$.

• Erschließe die lineare Funktion.

  Tipps

  Je schneller ein Kristall wächst, desto steiler steigt der dazugehörige Graph.

  Keiner der Kristalle hat jemals eine negative Höhe.

  Lösung

  Folgende Graphen lassen sich den Kristallen zuordnen:

  • Die Messung der Jahre beginnt bei $x=0$. Der einzige Graph mit $y$-Achsenabschnitt $0,4$ gehört zu dem violetten Amethyst, denn dieser ist zu Beginn der Messung $0,4~\text{mm}$ groß. Die Funktionsgleichung für das Wachstum des Amethysten kannst du aus der Zeichnung ablesen. Sie lautet $f(x) = 0,0075 \cdot x+ 0,4$.

  • Die Gerade mit der größten Steigung wird blau markiert, weil der Saphir die höchste Wachstumsrate hat, nämlich $0,05$. Die Funktionsgleichung für das Wachstum lautet $f(x) = 0,05 \cdot x + 0,15$.

  • Die Wachstumsrate des grünen Smaragds beträgt $m=0,02$, denn er wächst in einem Jahrzehnt um $0,2~\text{mm}$. Die Funktionsgleichung für das Wachstum des Smaragds lautet $f(x) = 0,02 \cdot x + 0,3$.

  • Der Schwefelkristall ist unter den Laborbedingungen geschrumpft statt gewachsen. Daher wird die einzige Gerade, die von links nach rechts linear abfällt und überall oberhalb der $x$-Achse verläuft, gelb markiert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = -0,04 \cdot x + 0,6$.

• Bestimme die Werte.

  Tipps

  Das Wachstum wird durch die lineare Funktion $f(x) = 0,05\cdot x$ beschrieben. Bei einer solchen Funktion ist der Zuwachs in jedem Jahr $x$ derselbe.

  In der Wertetabelle stehen in der linken Spalte die Werte für die Variable $x$, in der rechten Spalte die zugehörigen Funktionswerte $f(x)$.

  Addiere zu dem Wert $0,10~\text{mm}$ im zweiten Jahr den Zuwachs $0,05~\text{cm}$, um auf den Wert im dritten Jahr zu kommen.

  Lösung

  Das Wachstum wird durch die lineare Funktion $f(x) = 0,05\cdot x$ beschrieben. Bei einer solchen Funktion ist der Zuwachs in jedem Jahr $x$ derselbe. Für die Variable $x$ kannst du verschiedene Jahre einsetzen. Der Funktionswert $f(x)$ gibt das Wachstum des Tropfsteins bis zum Jahr $x$ an. Der Funktionsterm auf der rechten Seite der Gleichung sagt dir, wie du das Wachstum aus der Jahreszahl berechnen kannst. Der Koeffizient $0,05$ ist die jährliche Wachstumsrate.

  Du kannst das Wachstum des Tropfsteins in den verschiedenen Jahren nun auf zwei verschiedene Arten berechnen: entweder durch Einsetzen des Jahres in den Funktionsterm anstelle der Variable $x$ oder durch die Addition des jährlichen Zuwachses von einem Jahr zum nächsten. Der jährliche Zuwachs ist dasselbe wie die Wachstumsrate, also $0,05~\text{mm}$.

• Ermittle den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen.

  Tipps

  $\begin{array}{rclll} 2x-2&=&10&\vert&+2\\ 2x&=&12&\vert&:2\\ x&=&6&& \end{array}$

  Lösung

  Der Schnittpunkt $S$ der Graphen zweier linearer Funktionen $f$ und $g$ ist der Punkt, an dem gilt:

  $f(x) = g(x)$

  Der Schnittpunkt ist dann ein Punkt, der sowohl auf dem Graphen von $f$ als auch auf dem Graphen von $g$ liegt. Um diesen zu bestimmen, kann man daher die beiden Funktionen einfach gleichsetzen.

  Gegeben sind diese Funktionen:

  • $f(x)=x-1$
  • $g(x)=-2x+5$

  Wir setzen die Funktionen gleich:

  $x-1=-2x+5$

  Durch Äquivalenzumformungen lässt sich nur der $x$-Wert des Punktes berechnen:

  $\begin{array}{rclll} x-1&=&-2x+5&\vert&+~2x\\ 3x-1&=&5&\vert&+~1\\ 3x&=&6&\vert&~:3\\ x&=&2&& \end{array}$

  Wir wissen nun, dass $x=2$ ist. Diesen Wert können wir jetzt in eine der beiden Funktionen einsetzen, um den entsprechenden $y$-Wert zu erhalten. In $f$ eingesetzt, ergibt sich somit:

  $f(2)=2-1=1$

  Somit wissen wir schließlich, dass $y=1$ ist. Der Schnittpunkt der Graphen beider Funktionen liegt also bei $S(2\vert1)$.