Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen

Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen Übung

• Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung der Funktionsgleichung einer linearen Funktion.

  Tipps

  Die Steigungsformel lautet:

  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  $\begin{array}{l|ccccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 &3 \\ \hline y & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \end{array}$

  Hier ist $b=4$.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet:

  $y = m \cdot x + b$

  Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, benötigen wir die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$.

  Die Steigung $m$ können wir mit Hilfe der Steigungsformel berechnen. Diese lautet:

  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Wie setzen zwei beliebige Wertepaaren ein und berechnen den Wert des Bruchs.

  Der $y$-Achsenabschnitt gibt immer den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse an. Er entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$ an. Ist dieser in der Wertetabelle enthalten, so kann er einfach abgelesen werden. Das ist der Fall, wenn in der Wertetabelle der $x$-Wert $0$ auftaucht.

  Ansonsten wird die berechnete Steigung zusammen mit einem Wertepaar in die Funktionsgleichung eingesetzt und diese dann nach dem $y$-Achsenabschnitt $b$ aufgelöst.

  Zum Schluss werden die beiden berechneten Werte für $m$ und $b$ in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt.

  Beispiel:

  Betrachten wir die folgende Wertetabelle: $\begin{array}{l|rrrrr} x & -2 & -1 & 0 & 1 &2 \\ \hline y & -4 & -1 & 2 & 5 & 8 \\ \end{array}$

  • Wir können aus der Wertetabelle direkt den $y$-Achsenabschnitt $b=2$ ablesen.
  • Die Steigung berechnen wir mit Hilfe der Steigungsformel. Wir wählen die beiden Wertepaare $(0\vert2)$ und $(1\vert5)$ aus und setzen ein: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{5-2}{1-0}=3$.
  • Wir setzen die beiden Werte $b = 2$ und $m = 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten: $y=3x+2$

• Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion.

  Tipps

  Du berechnest erst die Steigung und danach den $y$-Achsenabschnitt.

  Wenn du die Steigung berechnet hast, kannst du sie direkt in die allgemeine Funktionsgleichung für $m$ einsetzen.

  Lösung

  Wir gehen wie folgt vor:

  • Wir notieren zuerst die allgemeine Funktionsgleichung: $y=m \cdot x+b$
  • Wir berechnen nun die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Wir wählen die beiden Wertepaare $(3\vert-7)$ und $(1\vert1)$ aus der Tabelle und setzen sie in die Formel ein: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{-7-1}{3-1}=-4$
  • Wir können nun die berechnete Steigung bereits in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen. Es ergibt sich: $y=-4x+b$
  • Wir setzen nun ein weiteres Wertepaar $(1\vert1)$ ein: $1=-4\cdot 1 +b$
  • Wir lösen diese Gleichung nach $b$ auf, indem wir $4$ auf beiden Seiten addieren und erhalten: $b=5$
  • Wir setzen die berechneten Werte für die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

  $y=-4x+5$

• Bestimme die Funktionsgleichung zu der gegebenen Wertetabelle.

  Tipps

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet:

  $y=m \cdot x+b$.

  Dabei steht $m$ für die Steigung und $b$ für den y-Achsenabschnitt.

  Wenn der Wert $x = 0$ in der Wertetabelle vorkommt, dann kannst du den $y$-Achsenabschnitt direkt an der Wertetabelle ablesen.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

  $y= m \cdot x + b$

  Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Wir können hier den $y$-Achsenabschnitt $b$ direkt aus der Wertetabelle ablesen. Dies ist der Funktionswert zu $x=0$. Es gilt:

  $b=2$

  Die Steigung berechnen wir mit Hilfe der Steigungsformel. Wir wählen die beiden Wertepaare $(0\vert2)$ und $(1\vert5)$ aus und setzen ein:

  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{5-2}{1-0}=3$

  Die Steigung beträgt also $m=3$.

  Wir setzen die beiden Werte ein und erhalten:

  $y=3x+2$

• Bestimme zu jeder Wertetabelle die zugehörige Funktionsgleichung.

  Tipps

  Du kannst durch einsetzen der x-Werte aus der Wertetabelle überprüfen, ob die zugehörigen y-Werte zur Funktionsgleichung passen.

  Beispiel: $y=4x-3$

  $x=2$

  Wir setzen ein:

  $y=4 \cdot 2 -3 = 8-3 = 5$

  Also ist: $y=5$

  Lösung

  Um die Wertetabellen den Funktionsgleichungen zuzuordnen, haben wir zwei Möglichkeiten:

  • Wir können aus der Wertetabelle die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$ bestimmen und somit die passende Funktionsgleichung ermitteln.
  • Wir können in eine gegebene Funktionsgleichung einen $x$-Wert aus einer Wertetabelle einsetzen und durch Berechnung des zugehörigen $y$-Wertes überprüfen, ob die Wertetabelle zu der Funktionsgleichung passt.

  $\begin{array}{l|rrrrr} x & -2 & -1 & 0 & 1 &2 \\ \hline y & -9 & -5 & -1 & 3 & 7 \\ \end{array}$

  Bei dieser Wertetabelle können wir sofort den $y$-Achsenabschnitt $b$ ablesen, da das Wertepaar $(0\vert-1)$ in der Wertetabelle vorkommt. Es gilt also:

  $b=-1$

  Also muss die zugehörige Funktionsgleichung $y=4x-1$ lauten.

  $\begin{array}{l|rrrrr} x & 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ \hline y & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ \end{array}$

  Auch bei dieser Wertetabelle können wir sofort den $y$-Achsenabschnitt $b$ ablesen, da das Wertepaar $(0\vert3)$ in der Wertetabelle vorkommt. Es gilt also:

  $b=3$

  Also muss die zugehörige Funktionsgleichung $y=2x+3$ lauten.

  $\begin{array}{l|rrrrr} x & -3 & -1 & 1 & 3 &5 \\ \hline y & -7 &-5 & -3 & -1 & 1 \\ \end{array}$

  Für diese Wertetabelle kommen noch die beiden Funktionsgleichungen $y=x-4$ und $y=5x$ in Frage. Wir wählen den $x$-Wert $1$ aus, und setzen ihn in die Funktionsgleichung $y=5x$ ein:

  $y=5x=5 \cdot 1=5 \neq -3$

  Der $y$-Wert stimmt nicht mit dem $y$-Wert aus der Wertetabelle überein.

  Wir setzen den $x$-Wert also in die andere Funktionsgleichung ein:

  $y=x-4=1-4=-3$

  Hier stimmt der berechnete $y$-Wert mit dem Wert aus der Wertetabelle überein. Die Funktionsgleichung $y=x-4$ gehört also zu dieser Wertetabelle.

  Zu der Wertetabelle

  $\begin{array}{l|rrrrr} x & -1 & 1 & 3 & 5 &7 \\ \hline y & -5 & 5 & 15 & 25 & 35 \\ \end{array}$

  gehört also die Funktionsgleichung $y=5x$.

• Gib jeweils die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt an.

  Tipps

  Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$.

  Bei der Funktion

  $y=-3x+4$

  ist $-3$ die Steigung und $4$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Die allgemeine lineare Funktionsgleichung lautet:

  $y= m \cdot x + b$

  • Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$, also $m$.
  • Der $\textbf{y}$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$.

  Da damit gilt $y = m \cdot 0 + b = b$, entspricht er dem Wert des Summanden $b$.

  In der Gleichung
  $y=2x+3$
  ist $m = 2$ die Steigung und $b = 3$ der $y$-Achsenabschnitt.

  In der Gleichung
  $y=-4x+5$
  ist die Steigung $m = -4$ und der $y$-Achsenabschnitt $b = 5$.

• Bestimme die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt der linearen Funktion.

  Tipps

  Bestimme zuerst die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel.

  Setze dann die berechnete Steigung und ein beliebiges Wertepaar in die allgemeine Funktionsgleichung ein und löse nach $b$ auf.

  Lösung

  Beispiel 1:
  Wir berechnen zunächst die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Dazu wählen wir die beiden Wertepaare $(1\vert2)$ und $(2\vert-4)$ aus der Tabelle und setzen ein:
  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{-4-2}{2-1}=-6$
  Die Steigung beträgt $m=-6$.

  Wir setzen nun die Steigung und das Wertepaar $(1\vert2)$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein und lösen nach $b$ auf:
  $\begin{array}{rrrrr} y & = & m \cdot x+b & & \\ y & = & -6 \cdot x+b& & \\ 2 & = & -6 \cdot 1+b& & \\ 2 & = & -6 +b& | +6 & \\ 8 & = & b & & \\ \end{array}$
  Es ergibt sich $b=8$.

  Zuletzt setzten wir die beiden berechneten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:
  $y=-6x+8$

  Beispiel 2:
  Wir können den $y$-Achsenabschnitt direkt aus der Wertetabelle ablesen: $b=3$.
  Wir berechnet nun die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Dazu wählen wir die beiden Wertepaare $(0\vert3)$ und $(1\vert1)$ aus der Tabelle und setzen ein:
  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{1-3}{1-0}=-2$
  Die Steigung beträgt $m=-2$.

  Zuletzt setzten wir die beiden berechneten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:
  $y=-2x+3$

  Beispiel 3:
  Wir berechnen zunächst die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Dazu wählen wir die beiden Wertepaare $(1\vert6)$ und $(2\vert7)$ aus der Tabelle und setzen ein:
  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{7-6}{2-1}=1$
  Die Steigung beträgt $m=1$.

  Wir setzen nun die Steigung und das Wertepaar $(1\vert6)$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein und lösen nach $b$ auf:
  $\begin{array}{rrrrr} y & = & m \cdot x+b & & \\ y & = & 1 \cdot x+b& & \\ 6 & = & 1 \cdot 1+b& & \\ 6 & = & 1 +b& | -1 & \\ 5 & = & b & & \\ \end{array}$
  Es ergibt sich $b=5$.

  Zuletzt setzen wir die beiden berechneten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:
  $y=1x+5 = x + 5$