Lineare Funktion – Wertetabelle
Erfahre, wie du anhand einer Wertetabelle linearer Funktionen, ähnlich wie bei Seepferdchen Sam, die Anzahl der gesammelten XP berechnen kannst. Finde heraus, wie du Schritt für Schritt Funktionswerte bestimmen oder sie durch die Funktionsgleichung eruieren kannst. Interessiert? Das und vieles mehr im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Lineare Funktion – Wertetabelle
Einführung: Wertetabelle einer linearen Funktion
Das Seepferdchen Sam benötigt $1 000$ XP, um sich im nächsten Level weiterzuentwickeln. Eine gesammelte Muschel bringt ihm dabei $50$ XP. Um herauszufinden, wie viele Muscheln er für $1 000$ XP sammeln muss, kann er eine Wertetabelle einer linearen Funktion erstellen. Und wie legt man eine Wertetabelle für lineare Funktionen an? Im folgenden Text wird die Wertetabelle linearer Funktionen einfach erklärt.
Was ist eine Wertetabelle?
In einer Wertetabelle wird jedem $x$-Wert ein dazugehöriger $y$-Wert, der sogenannte Funktionswert, zugeordnet. Lineare Funktionen können also in unserem Beispiel dabei helfen, die Gesamtzahl der XP in Abhängigkeit zu den gesammelten Muscheln herauszufinden. Dazu müssen wir wissen, was eine lineare Funktion ist.
- Eine Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = m\,x + b$ heißt lineare Funktion.
Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen. Der
$f(0) = m\cdot 0 + b = b$
Wie macht man aus einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle?
In dem Beispiel von Sam steht $x$ für die Anzahl der Muscheln und $y$ für die Anzahl der gesammelten XP. Im ersten Level startet man mit $50$ XP und erhält pro gesammelte Muschel $10$ weitere XP. Das kann durch die folgende lineare Funktion dargestellt werden:
$f(x) = 10\,x + 50$
Da der $y$-Achsenabschnitt in diesem Beispiel $50$ ist, wissen wir, dass wir bei einem $x$-Wert von $0$ den $y$-Wert von $50$ haben. Das können wir bereits in unsere Wertetabelle eintragen.
Gehen wir in Einerschritten weiter, können wir die XP einfach immer mit $10$ addieren.
Wir können auch die Funktionsgleichung nutzen, um die Werte zu berechnen. Setzen wir $x = 5$ ein, so erhalten wir $y=100$. Das haben wir auch mithilfe der Tabelle gesehen.
$f(5) = 10 \cdot 5 + 50 = 100$
Das Verwenden der Funktionsgleichung hilft uns besonders, wenn wir größere Werte berechnen wollen. Wollen wir herausfinden, wie viele XP man bei $15$ gesammelten Muscheln erhält, so setzen wir für $x = 15$ ein. Das Ergebnis können wir nun berechnen.
$f(15) = 10 \cdot 15 + 50 = 200$
Als $y$-Wert erhalten wir $200$. Diesen Wert können wir ebenfalls in der Wertetabelle ergänzen. Bei $22$ gesammelten Muscheln hätte man $270$ XP.
$f(22) = 10 \cdot 22 + 50 = 270$
Wertetabelle einer linearen Funktion – Beispiel
Im nächsten Level gibt es für jede gesammelte Muschel $15$ XP. Vom letzten Level sind noch
$f(x) = 15 \,x + 270$
Auch hier können wir wieder eine Wertetabelle anlegen. Zu Beginn des Levels, also bei einer Muschelanzahl von $0$, hat man $270$ XP. Pro gesammelte Muschel bekommt man zusätzlich
Wollen wir größere Werte herausfinden, können wir uns die Funktionsgleichung zur Hilfe nehmen. Nun setzen wir für $x$ wieder den gesuchten Wert ein und rechnen den $y$-Wert aus.
$f(20) = 15 \cdot 20 + 270 = 570$
Bei $20$ gesammelten Muscheln würde der XP Wert also auf $570$ steigen.
Zusammenfassung: Wertetabelle einer linearen Funktion erstellen
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu Wertetabellen linearer Funktionen zusammen.
- Mithilfe einer Wertetabelle kann man einen guten Überblick über die einer Funktion zugehörigen $x$- und $y$-Werte bekommen.
- Man kann Funktionswerte schrittweise berechnen oder die Funktionsgleichung verwenden.
- Die Berechnung mithilfe der Funktionsgleichung hilft bei größeren Werten.
Mehr Aufgaben zum Thema Wertetabellen linearer Funktionen findest du als Übungen und Arbeitsblätter hier bei sofatutor.
Transkript Lineare Funktion – Wertetabelle
Damit Sam das Seepferdchen ein Charakterupgrade erhält, muss er 1000 XP erreichen. Um XP zu erhalten, muss man Muscheln sammeln und für jede Muschel bekommt man die gleiche Anzahl an Xps. Linearen Funktionen können dabei helfen, die Gesamtzahl der XP in Abhängigkeit zu den gesammelten Muscheln herauszufinden. Dazu müssen wir wissen, was eine lineare Funktion überhaupt ist. Eine Funktion mit der Gleichung f von x gleich m mal x plus b heißt lineare Funktion. m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle x=0. Verschiedene Werte der linearen Funktion kann man in einer Wertetabelle darstellen. Dabei benötigen wir zwei Zeilen oder Spalten, eine für die x-Werte und eine für die zugehörigen y-Werte. Hier haben wir also x für die Anzahl der Muscheln und y für die Anzahl der gesammelten XP. Im ersten Level startet man mit 50 XP und erhält pro gesammelte Muschel 10 - wir können dies also durch die Gleichung f von x ist gleich 10x+50 darstellen. Da der y-Achsenabschnitt hier 50 ist, wissen wir, dass wir bei einem x-Wert von 0 den y-Wert von 50 haben. Gehen wir in Einer-Schritten weiter, können wir die XP einfach immer mit 10 addieren. Wir können auch die Funktionsgleichung verwenden, um die Werte zu berechnen. Setzen wir für x 5 ein so erhalten wir ebenfalls 100. Das Verwenden der Funktionsgleichung hilft uns vor allem, wenn wir größere Werte berechnen wollen. Wollen wir herausfinden, wie viele XP man bei 15 gesammelten Muscheln erhält, so setzen wir für x 15 ein, rechnen dies aus und erhalten als y-Wert 200. Bei 22 gesammelten Muscheln... hätte man 270 XP. Im nächsten Level muss man zusätzlich zum Sammeln der Muscheln noch Quallen ausweichen. Daher gibt es hier für jede Muschel zusätzliche 15 XP. Vom letzten Level sind noch 270 übrig. Auch hier können wir wieder eine Wertetabelle anlegen, um zu sehen wie viel XP man für jede zusätzliche Muschel insgesamt erspielt hat. Zu Beginn des Levels, also bei einer Muschelanzahl von 0, hat man 270. Pro gesammelte Muschel bekommt man zusätzlich 15. Wir können also wieder schrittweise 15 addieren für jede weitere gesammelte Muschel. Wollen wir größere Werte herausfinden, können wir uns die Funktionsgleichung zur Hilfe nehmen. Nun setzen wir für x wieder den gewollten Wert ein - nehmen wir doch einmal 20 rechnen dies aus und wissen, dass man bei 20 Muscheln 570 XP besitzt. Während Sam weiter um ein Charakter-Upgrade kämpft, fassen wir zusammen. Mithilfe einer Wertetabelle kann man einen guten Überblick über die einer Funktion zugehörigen x- und y- Werte bekommen. Man kann Werte schrittweise berechnen oder die Funktionsgleichung verwenden, um fehlende Werte zu bestimmen. So wie es aussieht ist Sam kurz vor dem Upgrade. Oh wow.
Lineare Funktion – Wertetabelle Übung
-
Welche Aussagen zu den Wertetabellen von linearen Funktionen stimmen?
TippsZwei Aussagen stimmen.
$f(x) = y$
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- „In einer Wertetabelle stehen die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt.“
In einer Wertetabelle stehen Wertepaare $x$ und $f(x) = y$.
- „Der Abstand zwischen zwei $y$-Werten ist immer doppelt so groß, wie der zwischen den $x$-Werten.“
Bei gleichem Abstand zwischen den $x$-Werte ist auch der Abstand unter den $y$-Werten immer gleich.
Diese Aussagen sind richtig:
- „In einer Wertetabelle werden $x$- und die zugehörigen $y$-Werte der Funktion notiert.“
- „Die $y$-Werte der Funktion kannst du bestimmen, indem du die $x$-Werte in die Funktion einsetzt.“
Es gilt: $y = f(x)$
- „In einer Wertetabelle stehen die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt.“
-
Bestimme eine Wertetabelle für die gegebene Funktion.
TippsDen $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, wenn du $0$ in die Funktionsgleichung einsetzt.
In der Funktionsgleichung wird $x$ mit $10$ multipliziert. Also wird der $y$-Wert der Funktion immer um $10$ größer, wenn du den $x$-Wert um $1$ erhöhst.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
- Zuerst muss er eine Tabelle zeichnen. Hier werden die Werte für $x$ und $y$ in unterschiedliche Zeilen eingetragen.
- Anschließend kann er den Wert des $y$-Achsenabschnitts in die $y$-Zeile einzeichnen. Der zugehörige $x$-Wert ist immer Null.
- Danach kann er die Werte schrittweise erhöhen. Erhöht sich der $x$-Wert um eins, dann muss sich der $y$-Wert um zehn erhöhen.
- Für große $x$-Werte kannst du die zugehörigen $y$-Werte auch direkt mit der Funktionsgleichung bestimmen. Dazu setzt du die Werte ein. Für $x=15$ erhalten wir $y=200$ und für $x=22$ ergibt sich $y=270$.
-
Ermittle, welche Wertetabelle zu welcher Funktion gehört.
TippsUm die Wertetabellen zu bestimmen, kannst du bei dem $y$-Achsenabschnitt $b$ beginnen. Der erste Eintrag der Tabelle ist also immer $(0 \vert b)$.
Im Anschluss kannst du den $x$-Wert um $1$ erhöhen und den $y$-Wert um den Faktor vor dem $x$.
LösungUm die Wertetabellen zu bestimmen, kannst du bei dem $y$-Achsenabschnitt $b$ beginnen. Der erste Eintrag der Tabelle ist also immer $(0 \vert b)$. Im Anschluss kannst du den $x$-Wert um $1$ erhöhen und den $y$-Wert um den Faktor vor dem $x$.
So erhältst du für die Funktionen:
- $f(x)=3x+5$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 5)$ und $(1 \vert 8)$.
- $g(x)=5x+5$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 5)$ und $(1 \vert 10)$.
- $h(x)=5x+3$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 3)$ und $(1 \vert 8)$.
- $i(x)=7x+3$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 3)$ und $(1 \vert 10)$.
Mit diesen Punkten kannst du die Wertetabellen zuordnen.
-
Ermittle die Wertetabelle der Funktion $f(x)=7x + 19$.
TippsDie Werte der Tabelle kannst du bestimmen, indem du die $x$-Werte direkt in die Funktionsgleichung einsetzt.
Zum Beispiel erhältst du für $x=2$:
$f(2)=7 \cdot 2 + 19=14+19=33$
LösungUm die Wertetabelle zu vervollständigen, setze zuerst den $y$-Achsenabschnitt ein. Auf diese Weise erhältst du den Wert für die erste Zeile. Anschließend kannst du die anderen Werte der Tabelle bestimmen, indem du die $x$-Werte direkt in die Funktionsgleichung einsetzt.
So erhältst du:
$f(5)=7 \cdot 5 + 19=35+19=54$
$f(15)=7 \cdot 15 + 19=105+19=124$
$f(18)=7 \cdot 18 + 19=126+19=145$
$f(22)=7 \cdot 25 + 19=154+19=173$
Damit kannst du die Wertetabelle vervollständigen:
$\begin{array}{ll} x& y\\ \hline 0& 19\\ 1& 26\\ 5& 54\\ 15& 124\\ 18&145\\ 22&173 \\ \end{array}$
-
Bestimme die Werte der Funktion $f(x)=15x+270$.
TippsAuch bei dieser Tabelle kannst du als ersten Eintrag den $y$-Achsenabschnitt einsetzen.
Beim letzten Wert bietet es sich an, den $x$-Wert direkt in die Funktionsgleichung einzusetzen.
LösungAuch bei dieser Tabelle kannst du als ersten Eintrag den $y$-Achsenabschnitt einsetzen.
Für $x=0$ erhältst du also $y=270$.
Anschließend kannst du den $x$-Wert schrittweise um eins erhöhen, während du den $y$-Wert um $15$ erhöhst.
So ergibt sich für $x=1$ also $y=270+15=285$.
Die folgenden Werte kannst du auf die gleiche Weise bestimmen.
Bei dem letzten Wert bietet es sich an, den $x$-Wert direkt in die Funktionsgleichung einzusetzen.
Hier erhältst du:$f(20)=15 \cdot 20 + 270=570$
-
Erschließe die Wertetabelle.
TippsUm die Wertetabelle zu vervollständigen, lohnt es sich, eine Funktionsgleichung aufzustellen.
Der $y$-Achsenabschnitt beschreibt den Anfangszustand der Funktion.
Der Faktor, mit dem $x$ in der Funktionsgleichung multipliziert wird, entspricht dem Wert, um den sich die Größe verändert, wenn du den $x$-Wert um eins erhöhst. Fertigen wir also jeden Tag $7$ Seiten an, können wir das durch $7x$ ausdrücken.
LösungUm die Wertetabelle zu vervollständigen, lohnt es sich, eine Funktionsgleichung aufzustellen. Zu Beginn hat Renée bereits $14$ Seiten fertig. Darum beträgt der $y$-Achsenabschnitt $b=14$. Jeden Tag kommen zwei weitere Seiten hinzu. Also können wir die Anzahl der Seiten mit folgender Funktion ausdrücken:
$f(x)=2x+14$
Hier können wir die gegebenen $x$-Werte einsetzen, um die zugehörigen $y$-Werte zu bestimmen. So erhalten wir:
- $f(1)=2 \cdot 1+14 = 16$
- $f(5)=2 \cdot 5+14 = 24$
- $f(10)=2 \cdot 10+14 = 34$
- $f(13)=2 \cdot 13+14 = 40$
- $f(24)=2 \cdot 10+14 = 62$
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Das war ein super duper bombastisches lustiges Viedeo ❤️❤️❤️
Habe viel gelernt
Herzlichen Glückwunsch, Sam! Danke, Sofatutor
und ich mag flugzeuge
Ich mag Züge.
Gutes Video, aber es wurde nicht erklärt wie es andersrum Funktioniert, nähmlich wenn man y gegeben hat und man x herausfinden muss.