Parallele und orthogonale Geraden

Parallele und orthogonale Geraden Übung

• Zeige auf, dass die Geraden parallel zueinander sind.

  Tipps

  Die Steigung ist der Wert, der in der Normalform mit $x$ multipliziert wird.

  Zwei Personen wachsen gleich schnell, wenn ihre Größen an einem Tag um gleich viel Höhe ansteigen.

  Lösung

  Die Normalform von Geraden beschreibt man mit $y=mx+b$. Um zu ermitteln, ob zwei Geraden parallel sind, vergleicht man die Steigungen dieser Geraden. In der Normalform ist die Steigung mit $m$ gekennzeichnet. Sind die Steigungen gleich, so sind die Geraden parallel.

  Betrachte die Steigungen der Gleichungen von Oswald und dem Baron. Wir setzen sie unter die Normalform der Gleichung, um besser vergleichen zu können.
  $\begin{array}{llll} y &= &m &x &+ &b \\ y_1 &= &\frac14 &x &+ &5 \\ y_2 &= &\frac14 &x &+ &6 \end{array}$

  Die Steigung $m_1$ von Oswalds Wachstumsgleichung beträgt demnach $\frac14$.
  Und die Steigung $m_2$ von der Wachstumsgleichung des Barons beträgt $\frac14$.

  Vergleiche nun die beiden Steigungen:
  $m_1=m_2$
  $\frac14=\frac14$.

  Wir erkennen: Die Steigungen sind gleich. Somit ist rechnerisch bewiesen, dass die Geraden parallel sind.

• Beschreibe, warum die Geraden orthogonal zueinander verlaufen.

  Tipps

  Eine Person schrumpft, wenn ihre Höhe sinkt. Der Graph zu der Wachstumsgleichung mit negativer Steigung ist dann eine fallende Gerade.

  Sind die Geraden zweier Funktionsgleichungen mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ orthogonal zueinander, so gilt:

  • $m_1\cdot m_2=-1$.

  Lösung

  Geraden sind orthogonal zueinander, wenn die Steigungen multipliziert $-1$ ergeben.

  Um die Steigungen der Geraden herauszufinden, vergleicht man die Gleichungen mit der Normalform:
  $\begin{array}{llll} y &= &m &x &+ &b \\ y_1 &= &\frac14 &x &+ &6 \\ y_2 &= &-4 &x &+ &57 \end{array}$

  Wir erkennen:
  $m_1=\frac14$
  $m_2=-4$.

  Nun multipliziert man die Steigungen miteinander.
  $m_1\cdot m_2=\frac14\cdot-4=-1$.

  Das beweist, dass die Geraden orthogonal zueinander sind.

• Entscheide, welche Geraden parallel und welche orthogonal zueinander sind.

  Tipps

  Um festzustellen, ob Geraden parallel oder orthogonal zueinander sind, vergleicht man die Werte der Steigungen $m$.

  Eine Gerade sieht in Normalform so aus: $y=mx+b$.

  Geraden sind orthogonal zueinander, wenn ihre Steigungen multipliziert $-1$ ergeben.

  Einige dieser Geraden sind weder parallel, noch orthogonal zueinander.

  Lösung

  Die Normalform für Geraden ist $y=mx+b$. So untersuchen wir, ob Geraden parallel oder orthogonal zueinander sind: Wir vergleichen jeweils die beiden Werte für $m$, also die Steigungen, miteinander.

  Geraden sind parallel zueinander, wenn ihre Steigungen gleich sind. Auf diese Geraden trifft das zu:

  • $y=\frac12 x-5$ und $y=\frac12 x+3$ $\rightarrow$, beide haben eine Steigung von $\frac12$
  • $y=12-4x$ und $y=-4x+5$ $\rightarrow$ beide haben eine Steigung von $-4$

  Geraden sind orthogonal zueinander, wenn ihre Steigungen multipliziert $-1$ ergeben. Bei diesen Geraden ist das der Fall:

  • $y=\frac16 x+4$ und $y=-6x+7\quad\rightarrow\quad\frac16 \cdot-6=-1$
  • $y=3+\frac17 x$ und $y=-7x-5\quad\rightarrow\quad\frac17 \cdot-7=-1$

  Demnach sind diese Geraden weder parallel, noch orthogonal zueinander:

  • $y=\frac14 x+6$ und $y=2x-6$
  • $y=\frac15 x-8$ und $y=5x+3$.

• Ermittle die Wachstumsgleichung mithilfe der Punkt-Steigungsform.

  Tipps

  Die Normalform des Punkts sieht so aus:

  $P(x_1\vert y_1)$.

  Bringe die Gleichung in die Normalform $y=mx+b$. Bringe hierzu alle Terme außer $y$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du diese addierst oder subtrahierst.

  Lösung

  Paul sucht eine Gleichung, die durch den Punkt $P(40\vert35)$ geht und parallel zur Gleichung $y=\frac12 x+5$ verläuft. Das löst er mit der Punkt-Steigungsform: $y-y_1=m(x-x_1)$.

  Dabei stehen die Variablen für folgende Werte:
  $\begin{array}{lll} y=\frac12 x+5 & \rightarrow & m=\frac12 \\ \\ P(40\vert35) & \rightarrow & x_1=40 \\ & \rightarrow & y_1=35 \end{array}$

  So sieht die Rechnung aus:
  $\begin{array}{rll} y-y_1 &=& m(x-x_1) &\vert\text{Einsetzen} \\ y-35 &=& \frac12(x-40) &\vert\text{Distributivgesetz} \\ y-35 &=& \frac12 x-20 &\vert+35 \\ y &=& \frac12 x+15 && \end{array}$

  So wäre Pauls Sonnenblume also gewachsen, wenn er schon an Tag $0$ den natürlichen Dünger benutzt hätte.

• Nenne die passenden mathematischen Schreibweisen für die Beschreibungen.

  Tipps

  Die Steigung errechnet man hier, indem man die Anzahl Fuß durch die Anzahl Tage teilt.

  „Wachsen“ bedeutet positive Steigung und „schrumpfen“ negative Steigung.

  $b$ ist die Ausgangsgröße, also der $y$-Wert, der zu $x=0$ gehört.

  Lösung

  Die Zauberer betrachten die allgemeine Funktionsgleichung $y=mx+b$. $y$ ist die Körpergröße in Fuß und $x$ ist die Anzahl der Tage.
  Außerdem ist $m$ die Wachstumsrate, wobei ein positiver Steigungswert bedeutet, dass die Person wächst, und eine negative Steigung zeigt, dass die Person schrumpft. Die Steigung errechnet man hier, indem man die Anzahl Fuß durch die Anzahl Tage teilt.
  $b$ ist die Ausgangsgröße, also der $y$-Wert zu $x=0$. Das bedeutet, man findet den Wert für $b$ bei dem Schnittpunkt der Geraden mit der $y$-Achse.

  Nehmen wir beispielsweise die Gerade $y=\frac14 x+6$, haben wir $m=\frac14$ und $b=6$.

  Folgende mathematische Ausdrücke ergeben sich dann für die genannten Wachstumseigenschaften.

  „Oswald wächst in $4$ Tagen um $1$ Fuß.“
  $\rightarrow$ $m=\frac14$

  „Zu Beginn ist Oswald $5$ Fuß groß.“
  $\rightarrow$ $b=5$

  „Der Baron schrumpft in $1$ Tag um $4$ Fuß.“
  $\rightarrow$ $m=\frac{(-4)}{1}=-4$

  „Wäre der Baron von Tag $0$ an so viel geschrumpft, hätte er zu Beginn $57$ Fuß groß sein müssen.“
  $\rightarrow$ $b=57$

• Bestimme die Gleichungen dieser Geraden sowie deren Schnittpunkt.

  Tipps

  Eine mögliche Überprüfung der ausgerechneten Steigungswerte könnte sein, diese miteinander zu multiplizieren. Ergibt $m_1\cdot m_2=-1$, sind die aufgestellten Gleichungen orthogonal.

  Sieh dir folgendes Beispiel zur Bestimmung der Steigung $m$ an.

  Der Schnittpunkt hat die Normalform $S(x\vert y)$.

  $b$ bezeichnet den Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse.

  Lösung

  Der Schnittpunkt der beiden Geraden lautet: $S(2\vert4)$.
  Gerade $y_1$ hat die Normalform $y_1=m_1\cdot x+b_1$.

  Diese Werte müssen eingesetzt werden:
  $b_1=3$ $\rightarrow$ dort schneidet die Gerade die $y$-Achse,
  $m_1=0,5$.

  So sieht die Gleichung dieser Geraden dann aus:
  $y_1=0,5x+3$.

  Gerade $y_2$ hat die Normalform $y_2=m_2\cdot x+b_2$.

  Diese Werte müssen eingesetzt werden:
  $b_2=8$ $\rightarrow$ dort schneidet die Gerade die $y$-Achse,
  $m_2=-2$.

  So sieht die Gleichung dieser Geraden dann aus:
  $y_2=-2x+8$.