Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem

Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu parallelen Geraden.

  Tipps

  Schneiden zwei Geraden mit gleicher Steigung die $y$-Achse am selben Punkt, dann sind diese Geraden identisch.

  Eine Geradengleichung in Normalform sieht so aus:

  $y=m \cdot x + b$

  Hier ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ heißt $y$-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Geraden liegen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung und den gleichen $y$-Achsenabschnitt besitzen.“

  • Parallele Geraden haben die gleiche Steigung aber einen unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitt. Ist der $y$-Achsenabschnitt ebenfalls identisch, handelt es sich um identische Geraden.

  „Wenn das Ergebnis eines Gleichungssystems eine mathematisch falsche Aussage ist, bedeutet dies, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.“

  • In diesem Fall hat das Gleichungssystem keine Lösung. Hast du das Gleichungssystem für zwei Geraden aufgestellt, heißt das, dass sich diese Geraden nicht schneiden.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  „Ist eine Geradengleichung in der Normalform gegeben, kannst du Steigung und $y$-Achsenabschnitt direkt ablesen.“

  „Um Steigung und $y$-Achsenabschnitt einer Geraden ablesen zu können, ist es hilfreich, die Gerade in die Normalform zu bringen.“

  • Da du von Gleichungen in der Normalform diese beiden Parameter direkt ablesen kannst, ist es hilfreich, die Gerade so umzuschreiben.

  „Parallele Geraden schneiden sich niemals.“

• Beschreibe, wie man die Parallelität zweier Geraden bestimmt.

  Tipps

  Beim Gleichsetzen von Geradengleichungen nehmen wir an, dass die $y$-Werte identisch sind. Daher setzen wir die jeweils andere Seite der Gleichung gleich.

  Erhalten wir beim Lösen eines Gleichungssystems eine mathematisch falsche Aussage, heißt das, dass das System keine Lösung besitzt.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung, jedoch verschiedene $y$-Achsenabschnitte. Also sind sie parallel.

  Die beiden Geraden werden sich also niemals schneiden.“

  • All dies sind Eigenschaften paralleler Geraden. Du solltest dir sie gut einprägen.

  „Rechnerisch können wir das durch Gleichsetzen beweisen. Dann erhalten wir:

  $3x+6=3x+5$“

  • Beim Gleichsetzen von Geradengleichungen nehmen wir an, dass die $y$-Werte identisch sind. Daher setzen wir die jeweils andere Seite der Gleichung gleich.

  „Subtrahieren wir $3x$ von beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir:

  $6=5$

  Dies ist eine mathematisch falsche Aussage. Somit können wir feststellen, dass die Kabel sich niemals kreuzen werden. “

  • Um das Gleichungssystem zu lösen, wollen wir die Variable $x$ isolieren. Dabei verschwindet diese aber und wir erhalten eine mathematisch falsche Aussage ($5=6$). Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Da wir mit dem Gleichungssystem herausfinden wollten, wo sich die Geraden schneiden, heißt das, dass sie sich niemals schneiden.

• Bestimme die Steigung der jeweiligen Geraden.

  Tipps

  Um die Steigungen von Geraden zu vergleichen, musst du die Geraden in folgende Normalform umschreiben:

  $y=mx+b$

  In der Normalform gibt der Parameter $m$ die Steigung der Geraden an.

  Lösung

  Um die Steigungen von Geraden zu vergleichen, musst du die Geradengleichungen in die Normalform umschreiben. Diese lautet:

  $y=m \cdot x + b$

  Du musst also die Variable $y$ isolieren. Dafür musst du Schritt für Schritt alles, was auf der Seite dieser Variablen steht, auf die andere Seite der Gleichung bringen. Das geht beispielsweise so:

  $\begin{array}{lll} \frac{y+5}{4} &=x &\vert \cdot 4 \\ y+5 &= 4x &\vert -5 \\ y&= 4x-5 \end{array}$

  Oder so:

  $\begin{array}{lll} \frac{y}{2}+1&=3x &\vert -1\\ \frac{y}{2} &= 3x -1 &\vert \cdot 2\\ y&= 6x-2 \end{array}$

  Die anderen Gleichungen kannst du ähnlich umformen. Beachte dabei immer die Regel „Punkt vor Strich“! Dann erhältst du:

  Diese Gleichungen haben die Steigung $m=4$:

  • $y-3=4x~ \Leftrightarrow ~ y=4x+3$

  • $\dfrac{y+5}{4}=x~ \Leftrightarrow ~ y=4x-5$

  Diese Gleichungen haben die Steigung $m=-5$:

  • $-y-4=5x ~ \Leftrightarrow ~ y=-5x-4$

  • $3y+15x=9 ~ \Leftrightarrow ~ y=-5x+3$

  Diese Gleichungen haben die Steigung $m=6$:

  • $\dfrac{y}{3}=2x+1 ~\Leftrightarrow ~y=6x+3$

  • $\dfrac{y}{2}+1=3x~\Leftrightarrow y= 6x-2$

• Ermittle, welche der jeweiligen Geraden parallel zueinander sind.

  Tipps

  Um herauszufinden, welche der Geraden parallel sind, kannst du alle Geradengleichung in die Normalform $y=mx+b$ umschreiben und die Steigungen vergleichen.

  Haben zwei Geraden gleiche Steigungen $m$, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte $b$, sind sie parallel.

  Lösung

  Um herauszufinden, welche der Geraden parallel sind, kannst du alle Geradengleichungen in die Normalform $y=mx+b$ umstellen und die Steigungen $m$ vergleichen. Haben zwei Geraden gleiche Steigungen $m$, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte $b$, sind sie parallel.

  Beispielsweise kannst du die Geradengleichung $\dfrac{y+1}{5}=x$ wie folgt umstellen:

  $\begin{array}{lll} \dfrac{y+1}{5}&=x &\vert \cdot 5 \\ y+1 &= 5x &\vert -1 \\ y&= 5x-1 \end{array}$

  Diese Gerade dieser Gleichung hat dieselbe Steigung wie die Gerade zur Gleichung: $y=5x-4$. Die $y$-Achsenabschnitte sind allerdings verschieden. Somit sind die Geraden parallel. Die anderen Paare kannst du genauso bestimmen. Dann erhältst du:

  • $x+y-1=0~\Leftrightarrow~ y=-x+1$ ist parallel zu $y=-x+4$

  • $3(y-3x)=6~\Leftrightarrow~ y=3x+2$ ist parallel zu $y=3x+9$

  • $-2y=x+6~\Leftrightarrow~ y=-\dfrac{1}{2}x-3$ ist parallel zu $y=-\dfrac{1}{2} x -2$

  Diese Geraden sind nicht parallel zu einer anderen gegebenen Geraden:

  • $y=5x-1$ ist identisch mit der Gleichung $\dfrac{y+1}{5}=x$, weshalb die Geraden aufeinander liegen und unendlich viele Schnittpunkte haben.

  • $y=\dfrac{1}{2}x-3$ hat nicht dieselbe Steigung wie $-2y=x+6$, denn $y = -\dfrac{1}{2} x -3 \neq \dfrac{1}{2}x-3$. Die Geraden dieser Gleichungen schneiden sich somit an einem Punkt.

• Gib an, welche Geraden parallel sind.

  Tipps

  Parallele Geraden schneiden sich niemals. Siehst du also, dass zwei Geraden sich schneiden, können sie nicht parallel sein.

  Zwei Geraden haben dieselbe Steigung, wenn sich der Abstand der beiden Geraden nie verändert.

  Lösung

  So kannst du herausfinden, welche Geraden parallel sind:

  Parallele Geraden schneiden sich niemals. Siehst du also, dass zwei Geraden sich schneiden, können sie nicht parallel sein.

  Allerdings kann es sein, dass sich Geraden zwar schneiden, das aber nicht im gezeigten Ausschnitt der Graphen passiert. Hier musst du überprüfen, ob die Steigungen der Geraden gleich ist. Das ist der Fall, wenn die Geraden an jedem Punkt denselben Abstand zueinander haben. Das ist bei den hier gezeigten Geraden der Fall.

• Ermittle, welche der Geraden senkrecht zueinander stehen.

  Tipps

  Um herauszufinden, welche Geraden parallel sind, musst du das Produkt der beiden Geradensteigungen berechnen. Ist dieses gleich $-1$, liegen die Geraden senkrecht zueinander.

  Bei zwei Geraden, die die Steigungen $m_1=-2$ und $m_2=\frac{1}{2}$ besitzen, rechnest du also:

  $m_1 \cdot m_2= -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $

  Diese zwei Geraden liegen also senkrecht zueinander!

  Lösung

  Um herauszufinden, welche Geraden parallel sind, musst du das Produkt der beiden Geradensteigungen berechnen. Ist dieses gleich $-1$, liegen die Geraden senkrecht zueinander. Für das erste Geradenpaar gilt:

  $m_1 \cdot m_2= 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{3}{3}=-1$

  Sie stehen also senkrecht zueinander.

  Für die nächsten beiden Geraden gilt:

  $m_1 \cdot m_2= \frac{2}{3} \cdot (-\frac{6}{2}) = -\frac{12}{6}=-2$

  Damit sind sie nicht senkrecht zueinander.

  So erhältst du, dass diese Geraden nicht senkrecht zueinander stehen:

  „Gerade $g_1$ hat eine Steigung von $m_1=\frac{2}{3}$ und Gerade $g_2$ hat eine Steigung von $m_2=-\frac{6}{2}$.“

  • Hier ist: $m_1 \cdot m_2=-2$

  „$g_1:y=4x+4$ und $g_2:y=\frac{1}{8}x-3$“

  • Hier ist: $m_1 \cdot m_2=\frac{1}{2}$

  Diese Geraden stehen senkrecht zueinander:

  „$g_1:y=3x+4$ und $g_2:y=-\frac{1}{3}x-3$“

  „Gerade $g_1$ hat eine Steigung von $m_1=\frac{2}{5}$, während $g_2$ eine Steigung von $m_2=-\frac{10}{4}$ besitzt.“

  • Hier gilt jeweils: $m_1 \cdot m_2=-1$