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Lineare Funktionen zeichnen

Erfahrt, wie man lineare Funktionen grafisch darstellt. Von der Form einer linearen Funktion bis hin zum Gebrauch von Steigungsdreiecken – entdeckt verschiedene Methoden zur Erstellung von Graphen. Interessiert? Das und mehr findet ihr im folgenden Text!

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Was ist eine lineare Funktion?

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Lineare Funktionen zeichnen
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Grundlagen zum Thema Lineare Funktionen zeichnen

Einführung: lineare Funktionen zeichnen

Bergwandern ist ein tolles Hobby. Aber nicht nur der Weg selbst ist dabei entscheidend, sondern auch wie steil es aufwärts oder abwärts geht. Bergwanderungen können also auch durch die Steigung des Wegs charakterisiert werden. In der Mathematik können wir einen konstanten Anstieg durch eine lineare Funktion darstellen. Aber wie zeichnet man eine lineare Funktion? Dieser Frage gehen wir im Folgenden nach.

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion wird durch eine Funktionsgleichung der Form f(x)=mx+bf(x)=m \cdot x+b beschrieben. Dabei steht mm für die Steigung und bb für den y-Achsenabschnitt. Der yy-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle x=0x=0.
Betrachten wir nun zwei Vorgehensweisen, um eine solche lineare Funktion als Gerade in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.

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Lineare Funktionen durch zwei Punkte zeichnen

Um den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, können wir mithilfe der Funktionsgleichung zwei Punkte bestimmen. Wir betrachten die Funktion:

f(x)=2x+3f(x)=2x+3

Um als Beispiel diese lineare Funktion zu zeichnen, ermitteln wir zwei Punkte. Dazu setzen wir zuerst für x=0x=0 ein und erhalten:

f(0)=20+3=3f(0)=2 \cdot 0+3 = 3

Wir kennen somit den Punkt (03)(0|3), der auf dem Funktionsgraphen liegt.
Um einen zweiten Punkt zu erhalten, setzen wir für x=5x=5 ein und erhalten

f(5)=25+3=13f(5)= 2 \cdot 5+3=13,

also den Punkt (513)(5|13).

Wir wissen, dass der Funktionsgraph durch diese beiden Punkte läuft. Um den Graphen zu zeichnen, tragen wir daher die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichnen eine Gerade durch die beiden Punkte.

lineare Funktion durch zwei Punkte

Um eine lineare Funktion mithilfe zweier Punkte zu zeichnen, wählen wir also zwei beliebige xx-Werte. Wir setzen diese Werte in die Funktionsgleichung ein und bestimmen so die zugehörigen yy-Werte. Die somit erhaltenen Wertepaare tragen wir im Koordinatensystem als Punkte ein und zeichnen dann eine Gerade durch die beiden Punkte.

Lineare Funktionen zeichnen mithilfe eines Steigungsdreiecks

Alternativ können wir lineare Funktionen auch mithilfe des yy-Achsenabschnitts bb und der Steigung mm zeichnen. Wir betrachten dazu die folgende Funktion:

f(x)=12x+1f(x)=\frac{1}{2}x+1

Wir wollen diese lineare Funktion grafisch darstellen. Dazu tragen wir zuerst den Schnittpunkt mit der yy-Achse ein. Dieser lautet (01)(0|1), da gilt: b=1b = 1. Anschließend stellen wir die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks dar. Dazu gehen wir von dem markierten Punkt auf der yy-Achse zwei Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben. Alternativ ist es auch möglich zwei Einheiten nach links und eine Einheit nach unten zu gehen. Damit erhalten wir folgende Zeichnung der linearen Funktion.

lineare Funktion mit Steigungsdreieck zeichnen

Wir wollen noch für eine weitere lineare Funktion den Graphen zeichnen:

f(x)=12x+6f(x)=-\frac{1}{2}x+6

Wir tragen wieder zuerst den Schnittpunkt mit der yy-Achse ein: Hier ist b=6b= 6, der Punkt liegt daher bei (06)(0|6). Beim Zeichnen des Steigungsdreiecks gehen wir zunächst 44 Einheiten nach rechts. Um die weiteren Schritte zu ermitteln, multiplizieren wir die 44 dann mit der Steigung:

4(12)=24 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2

Da die Steigung negativ ist, gehen wir 22 Einheiten nach unten.
Allgemein gilt: Ist die Steigung negativ, können wir entweder zuerst nach rechts und dann nach unten gehen oder zuerst nach links und dann nach oben.
Wir erhalten den folgenden Graphen:

lineare Funktion mit negativer Steigung zeichnen

Besondere lineare Funktionen

Bei linearen Funktionen kann die Funktionsgleichung eine spezielle Form haben:

m=0m=0 und b=0f(x)=0b=0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = 0
Es handelt sich um eine Gerade, die auf der xx-Achse verläuft.

m=0m=0 und b0f(x)=bb\neq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = b
Es handelt sich um eine Gerade, die parallel zur xx-Achse verläuft.

m0m \neq 0 und b=0f(x)=mxb=0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = m \cdot x
Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft, auch Ursprungsgerade genannt. Sie repräsentiert eine proportionale Funktion.

spezielle lineare Funktionen

Zusammenfassung: lineare Funktionen zeichnen

In diesem Video zum Zeichnen von linearen Funktionen wird zunächst die Möglichkeit des Zeichnens einer linearen Funktion mithilfe zweier Punkte an einem Beispiel erläutert. Anschließend wird anhand verschiedener Funktionen gezeigt, wie man den Funktionsgraphen einer linearen Funktion mithilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen kann. Somit wird das Zeichnen linearer Funktionen einfach erklärt. Abschließend wird noch auf Spezialfälle linearer Funktionen eingegangen.

Weitere Aufgaben zum Zeichnen linearer Funktionen findest du hier bei sofatutor.

Transkript Lineare Funktionen zeichnen

Susi ist eine leidenschaftliche Bergsteigerin und hält ihre Wanderungen immer in einem Tagebuch fest. Da sie besonders an den Steigungen interessiert ist, kann sie ihre Wanderwege als Lineare Funktionen zeichnen. Wiederholen wir dazu doch einmal, was eine lineare Funktion überhaupt ist. Eine Funktion mit der Gleichung f von x gleich m mal x plus b heißt lineare Funktion. m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle x=0. Um den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, welcher immer eine Gerade ist, gibt es mehrere Möglichkeiten. Beginnen wir dazu mit dieser Gleichung: f von x ist gleich 2x plus 3. Es genügt, mithilfe dieser Funktionsgleichung die Koordinaten zweier Punkte zu bestimmen. Setzen wir für x 0 ein, so erhalten wir 3. Wir haben also als ersten Punkt 0 3. Um einen zweiten Punkt zu erhalten, setzen wir nun für x 5 ein. Wir erhalten 13 und daher als zweiten Punkt 5 13. Wir wissen also, dass der Graph zu der Funktionsgleichung durch diese beiden Punkte verläuft. Tragen wir sie im Koordinatensystem ein und zeichnen eine Gerade durch die beiden Punkte so sehen wir, wie der Graph der linearen Funktion aussieht. Susi möchte nun die Graphen ihrer Wanderrouten in ihr Tagebuch zeichnen. Die erste Funktion, die sie sich notiert hat, lautet f von x ist gleich einhalb x plus 1. Zum Einzeichnen des zugehörigen Graphens in ein Koordinatensystem, müssen wir nicht immer zwei Punkte berechnen. Man kann ihn auch mithilfe von einem Punkt und der Steigung zeichnen. Oft bietet sich der Schnittpunkt mit der y-Achse als Ausgangspunkt an, hier also 0 1. Die Steigung beträgt ein Halb. Zum Einzeichnen des Steigungsdreiecks gehen wir also 1 Einheit nach rechts und dann eine halbe Einheit nach oben. Einfacher ist es manchmal Vielfache zu verwenden, also 2 Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben zu gehen. Verbinden wir den Ausgangspunkt nun mit diesem Punkt, haben wir den zugehörigen Graphen der linearen Funktion gefunden. Susi musste sich bei dieser Steigung ganz schön anstrengen! Beachte bei der Einzeichnung des Steigungsdreiecks, dass dies auf zwei verschiedene Weisen möglich ist: Bei einer positiven Steigung kann man entweder zuerst nach rechts und dann nach oben gehen oder zuerst nach links und dann nach unten. Für den nächsten Abschnitt ihrer Reise hat Susi die folgende Funktionsgleichung aufgeschrieben: f von x ist gleich minus ein Halb x plus 6. Wir können von dem Punkt 0 6 ausgehen und mithilfe der Steigung ein Steigungsdreieck einzeichnen. Wir gehen diesmal 4 Einheiten nach rechts. Da wir ein minus vor der Steigung haben, gehen wir diesmal nach unten. Aber wie viele Einheiten eigentlich? Da wir 4 Einheiten nach rechts gegangen sind, rechnen wir 4 mal minus ein Halb. Wir gehen also 2 Einheiten. nach unten. Das ging aber ganz schön schnell bergab für Susi. Beachte bei der Einzeichnung des Steigungsdreiecks, dass dies auch hier auf zwei verschiedene Weisen möglich ist: Bei einer negativen Steigung kann man entweder zuerst nach rechts und dann nach unten gehen oder zuerst nach links und dann nach oben. Schauen wir uns doch noch ein paar spezielle Funktionsgleichungen an und betrachten zunächst eine Gleichung, bei der sowohl die Steigung als auch der y-Achsenabschnitt gleich 0 ist. Dann bleibt als Gleichung ja nur noch f von x ist gleich 0. Die zugehörige Gerade ist identisch zur x-Achse. Susi ist wohl ganz unten angekommen. Wäre es nicht schön, wenn man einfach und schnell nach oben auf einen Berg kommen könnte? Ist m gleich 0, aber b ungleich 0, also zum Beispiel 4, so verschiebt sich die Gerade. Es ergibt sich eine zur x-Achse parallele Gerade. Ist andersherum m ungleich 0 und b gleich null, ergibt sich eine Funktionsgleichung der Form f von x ist gleich mx. Dann liegen proportionale Funktionen vor. Solche Funktionen verlaufen immer durch den Ursprung. Hui, da hat sie sich wohl mit einer Bergziege angefreundet. Während die beiden ihren Weg aufwärts fortführen, fassen wir zusammen. Möchte man den zugehörigen Graphen einer linearen Funktion zeichnen, so hat man die Möglichkeit zwei Punkte der Funktion zu verbinden oder den Graphen mithilfe der Steigung zu zeichnen. Dabei ist es wichtig darauf zu achten, ob die Steigung positiv oder negativ ist. Außerdem gibt es noch folgende Besonderheiten: Ist m=0 und b=0, so ist die Gerade identisch zur x-Achse. Ist m=0 und b ungleich 0, so ist die Gerade parallel zur x-Achse. Ist m ungleich 0 und b gleich 0, so liegt eine proportionale Funktion vor und die zugehörige Gerade verläuft durch den Ursprung. Und Susi hat es geschafft alles in ihr Tagebuch einzutragen. Doch was ist das?

14 Kommentare
  1. bei uns ist b n aber ist das egal was ich im test hinschreibe?

    Von Colin, vor 3 Monaten
  2. War sehr hilfreich😎

    Von Eva Schardt, vor 4 Monaten
  3. Hallo Dima, du kannst auch 6 Einheiten nach rechts gehen. Wichtig ist nur, dass das Verhältnis der Steigung eingehalten wird, also dass du dann auch drei Schritte anstatt nur zwei Schritte nach unten gehst. Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Lukas, vor 11 Monaten
  4. Sehr schönes Video, aber mir bleibt eine Frage offen: Warum wurde bei der dritten Funktion anstatt 6 Einheiten nur 4 Einheiten nach rechts gegangen? Könntet ihr mir bitte helfen, Teamdigital?🤷‍♀️

    Von Dima Soliman, vor 11 Monaten
  5. Sehr gut

    /\____/\
    ^ ^
    *
    ……

    Von Hirschberger, vor etwa einem Jahr
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