Extrema – Minimum und Maximum
Entdecke die Geheimnisse der Funktions-Extrema: Erfahre, wie du Hoch- und Tiefpunkte in Funktionsgraphen identifizierst und Extremwerte bestimmst. Bereite dich vor, die mathematische Analyse von Extrempunkten zu meistern. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Video!
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Grundlagen zum Thema Extrema – Minimum und Maximum
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Bedingungen für Extrema, also Hochpunkte und Tiefpunkte von Funktionen, zu beschreiben.
Zunächst lernst du, wie Minimum und Maximum definiert sind. Anschließend werden weitere Fachbegriffe zugeordnet und erklärt. Abschließend erfährst du, wie sich Minima und Maxima aus der Steigung des Funktionsgraphen ergeben.
Lerne etwas über die Höhen und Tiefen des Lebens.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Extremum, Minimum, Maximum, Hochpunkt, Tiefpunkt, lokale und globale Extrema, Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits verschiedene Funktionen und Funktionsgraphen kennen und wissen, wie sich deren Steigung ablesen lässt. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Intervallen von Funktionswerten haben.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die mathematische Bestimmung der Extrempunkte einer Funktion zu lernen.
Was ist ein Extremum?
In der Mathematik kommen Extrema in der Kurvendiskussion vor. Es handelt sich dabei um diejenigen Punkte des Funktionsgraphen, die den größten oder kleinsten Funktionswert haben. Dabei kann es sich um den größten oder kleinsten Funktionswert überhaupt oder den größten oder kleinsten Funktionswert innerhalb einer geeignet gewählten Umgebung handeln. In diesem Video erklären wir dir, was Extrempunkte sind und wie du sie am Funktionsgraphen erkennen kannst. Wie du Extrempunkte einer Funktion bestimmst, lernst du in einem anderen Video.
Hoch- und Tiefpunkte – Definition
In der Kurvendiskussion suchen wir für eine vorgegebene Funktion $f: \mathbb R \to \mathbb R$ nach speziellen Punkten des Funktionsgraphen. Diese speziellen Punkte können Nullstellen oder Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen sein. Ein Tiefpunkt ist derjenige Punkt des Funktionsgraphen, der zu einem Minimum der Funktion gehört – genauer gesagt zu einem lokalen Minimum. Das bedeutet: Der Punkt $(x_0|f(x_0))$ des Funktionsgraphen ist ein Tiefpunkt genau dann, wenn es eine Umgebung $U(x_0)$ gibt, sodass an allen Stellen $x \in U(x_0)$ der Funktionswert von $f$ nicht größer ist als der Funktionswert an der Stelle $x_0$. Das schreiben wir so auf:
- An einem Minimum $x_0$ gilt $f(x_0) \leq f(x)$ für alle $x$ aus einer Umgebung $x_0$.
- An einem Maximum $x_0$ gilt $f(x_0) \geq f(x)$ für alle $x$ aus einer Umgebung $x_0$.
Im Funktionsgraphen erkennst du einen Tiefpunkt also daran, dass in der Nähe des Tiefpunkts Funktionswerte größer oder gleich dem Funktionswert am Tiefpunkt sind. Bei der Funktion hier im Bild sind die Funktionswerte in der Nähe des Tiefpunkts größer als der Funktionswert an der Stelle $x_0$:
Die Definition des Tiefpunkts verlangt aber nicht, dass die anderen Funktionswerte in der gefundenen Umgebung $U(x_0)$ größer sind als der Funktionswert $f(x_0)$. Es genügt, dass sie nicht kleiner sind als $f(x_0)$. Das zeigt die Funktion in dem folgenden Bild:
Die Funktion hat in dem Punkt $(x_0|f(x_0))$ einen Tiefpunkt, denn die Funktionswerte in der Umgebung $U(x_0)$ sind nicht größer als der Funktionswert $f(x_0)$. Die Stelle $x_0$ ist also ein lokales Minimum der Funktion $f$. Da die Funktionswerte in der Nähe von $x_0$ alle gleich dem Funktionswert an der Stelle $x_0$ sind, ist das Minimum bei $x_0$ kein isoliertes Minimum.
Als strenge Minima oder isolierte Minima bezeichnet man solche Minima $x_0$ einer Funktion $f$, für die gilt: Es gibt eine Umgebung $U(x_0)$, für die jeder Funktionswert $f(x)$ mit $x \in U(x_0)$ größer ist als $f(x_0)$. Das können wir auch so aufschreiben:
- An einem strengen Minimum $x_0$ gilt $f(x_0) < f(x)$ für alle $x$ aus einer Umgebung $x_0$. Statt strenges Minimum sagt man auch: Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ ein isoliertes lokales Minimum.
- An einem strengen Maximum $x_0$ gilt $f(x_0) > f(x)$ für alle $x$ aus einer Umgebung $x_0$. Statt strenges Maximum sagt man auch: Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ ein isoliertes lokales Maximum.
Die Definition des Tiefpunkts des Funktionsgraphen bzw. des lokalen Minimums einer Funktion schließt außerdem nicht aus, dass die Funktionswerte außerhalb der gefundenen Umgebung kleiner sind als der Funktionswert an der Stelle $x_0$. Ist $(x_0|f(x_0))$ ein Tiefpunkt des Funktionsgraphen, so hat die Funktion an der Stelle $x_0$ ein lokales Minimum. Die Funktionswerte $f(x)$ an Stellen $x$ jenseits einer kleinen Umgebung von $x_0$ können kleiner sein als der Funktionswert $f(x_0)$. In diesem Sinne ist das lokale Minimum der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ nicht der kleinste Funktionswert von $f$ überhaupt, also kein globales Minimum.
Was ist der Tiefpunkt (Minimum)?
In der Mathematik kommen Tiefpunkte in der Kurvendiskussion vor. Es handelt sich dabei um diejenigen Punkte des Funktionsgraphen, die den kleinsten Funktionswert haben. Dabei kann es sich um den kleinsten Funktionswert überhaupt oder den kleinsten Funktionswert innerhalb einer geeignet gewählten Umgebung handeln.
Dieses Video
In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was ein Extremum einer Funktion und ein Hochpunkt oder Tiefpunkt eines Funktionsgraphen ist. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt, womit du dein neues Wissen gleich ausprobieren kannst.
Transkript Extrema – Minimum und Maximum
Im Leben geht es für uns alle mal rauf und mal runter. Dabei sieht es manchmal so aus, als wäre für die einen alles ein einziger Höhepunkt, während manch anderer in tiefsten Tiefen zu versinken droht. Aber das kann sich schnell ändern – und nichts ist so „extrem“, wie es auf den ersten Blick aussieht. Das gilt auch für „Extrema“ – also „Minimum“ und „Maximum“ in der Mathematik. Ein Extremum ist eine Stelle „x-E“, an dem eine Funktion einen Herausstechenden Y-Wert, also den Funktionswert „F von x-E“, annimmt. Das kann ein relativ großer Y-Wert sein, ein sogenanntes Maximum, oder eben ein relativ kleiner – also ein Minimum. Was „relativ“ in diesem Zusammenhang bedeutet, wollen wir noch präzisieren. Bei einem „Maximum“ geht es darum, dass kein Funktionswert in einer Umgebung der Stelle x-E größer ist als der Funktionswert von x-E. Oder andersherum: Es gilt „F von x kleiner-gleich F von x-E für alle x in der Umgebung U“. Das ist hier der Fall, aber zum Beispiel auch hier. Denn wenn alle Werte für „F von x in der Umgebung U“ gleich groß sind, dann ist eben auch keiner größer als F von x-E. Im ersten Fall spricht man aber von einem strengen Maximum an der Stelle x-E, da alle „F von x“ absolut kleiner sind als F von x-E in der Umgebung U. Bei einem „Minimum“ ist es nun ganz ähnlich. Nur sind hier eben alle Funktionswerte „größer gleich F von x-E“ in der Umgebung U des Minimums. Sind alle Funktionswerte dabei absolut größer sprechen wir wieder von einem strengen Minimum. Man unterscheidet übrigens bei den Extrema zwischen „Extremstelle“, was die Stelle „x-E“ bezeichnet, und „Extremwert“, was den Wert „F von x-E“, also „Y-E“, bezeichnet. Von „Extrempunkt“ spricht man, wenn man beide Koordinaten zusammen meint, also hier den Punkt „Vier; Zehn“ oder hier den Punkt „Minus-Vier; Minus-Sechs“. Da man ein Maximum auch „Hochpunkt“ nennt, und ein Minimum „Tiefpunkt“, sind die Bezeichnungen „x-H“ und „x-T“ gebräuchlich, um die jeweiligen Extremstellen zu unterscheiden. Jetzt haben wir jeweils nur eine „Umgebung U“ betrachtet, die ein bisschen schwammig definiert ist. Wir könnten ja auch den gesamtes Wertebereich einer Funktion betrachten und nach dem absolut größten, beziehungsweise kleinsten, Funktionswert suchen. Dort wäre dann ein absolutes – oder auch globales – Maximum, beziehungsweise globales Minimum. Von einem lokalen Maximum oder Minimum sprechen wir, wenn wir eben nur den größten oder kleinsten Wert in einer bestimmten Umgebung suchen. Aber was zeichnet eine solche „Umgebung“ eigentlich aus? Und wie kommt es zu dem Extrempunkt darin? Entscheidend ist bei einem strengen Maximum, dass die Steigung des Funktionsgraphen vor dem Maximum positiv ist, und nach dem Maximum negativ. Am Extrempunkt selbst muss die Steigung also „gleich Null“ sein. Dasselbe gilt auch bei einem Minimum, nur dass hier eben die Steigung davor negativ ist, und danach positiv. Die „Umgebung U“ einer Extremstelle muss also nur gerade so groß sein, dass wir einen Vorzeichenwechsel der Steigung des Funktionsgraphen ausmachen können. Und damit haben wir schon alle wichtigen Punkte zu den Extrema zusammen! Es gibt zwei Arten von Extrema – oder Extrempunkten. An einem Hochpunkt, oder Maximum, ist der Funktionswert maximal groß. Die übrigen Funktionswerte der Funktion sind kleiner-gleich dem Extremwert, entweder Lokal für alle „x einer Umgebung U“, oder global für „alle x“ des Definitionsbereiches. An einem Tiefpunkt, oder Minimum, ist der Funktionswert minimal klein. Dann gilt „F von x größer-gleich F von x-T“, und das wieder entweder lokal für alle „x einer Umgebung U“, oder global für „alle x“. Für beide Arten von Extrema gilt, dass die Steigung des Funktionsgraphen am Extrempunkt gleich Null ist, und beim Durchlaufen des Extremums ihr Vorzeichen wechselt. Beim Hochpunkt von positiv nach negativ, und beim Tiefpunkt genau umgekehrt. So wird auf jeden „Höhepunkt“ also zwangsweise ein Dämpfer folgen müssen, aber dafür geht es nach jedem „Tief“ auch wieder bald bergauf.
Extrema – Minimum und Maximum Übung
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Beschreibe, was man unter den Extrema einer Funktion versteht.
TippsBei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
Beispiel: Ein Punkt ist z. B. $(-3|4)$.
LösungEin Extremum ist eine Stelle $x_E$, an der eine Funktion einen besonders großen oder kleinen $y$-Wert, also Funktionswert, annimmt. Man unterscheidet bei Extrema zwischen der Extremstelle, dem Extremwert und dem Extrempunkt:
- Extremstelle bezeichnet den $x$-Wert des Extremums: $x_E$.
- Extremwert bezeichnet den Funktionswert des Extremums: $f(x_E)$.
- Extrempunkt bezeichnet den gesamten Punkt: $(x_E | f(x_E))$.
- Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
- Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
Folgende Aussagen sind somit richtig:
Eine Extremstelle ist der $x$-Wert des Extremums.
Der Extremwert ist der $y$-Wert.Folgende Aussagen sind falsch:
Ein Extrempunkt ist ein Maximum. $\mapsto$ Ein Extrempunkt kann ein Maximum oder ein Minimum sein.
Bei einem Minimum ist der Extrempunkt besonders klein. $\mapsto$ Bei einem Minimum ist der Extremwert besonders klein. -
Vervollständige die Aussagen zu einem strengen Maximum.
TippsDies ist kein strenges Minimum.
$f(x) \leq f(x_E)$ bedeutet, dass die Funktionswerte $f(x)$ kleiner oder gleich $f(x_E)$ sind.
LösungEin Extremum ist eine Stelle $x_E$, an der eine Funktion einen besonders großen oder kleinen $y$-Wert, also Funktionswert annimmt. Man unterscheidet dabei zwischen Minima und Maxima:
- Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_M$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_M$, also: $f(x) \leq f(x_M)$ für alle $x \in U$
- Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_m$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_m$, also: $f(x) \geq f(x_m)$ für alle $x \in U$
Wir betrachten zunächst das Maximum. Die Funktionswerte in der Umgebung können also kleiner oder gleich dem Extremwert $f(x_M)$ sein. Sind die Funktionswerte kleiner, also $f(x) < f(x_M)$ für alle $x \in U$, so sprechen wir von einem strengen Maximum. Sind jedoch ein oder mehrere Funktionswerte in der Umgebung gleich dem Extremwert, so handelt es sich nicht um ein strenges Maximum.Strenges Minimum:
Die Funktionswerte in der Umgebung können größer oder gleich dem Extremwert $f(x_m)$ sein. Sind die Funktionswerte größer, also $f(x) > f(x_m)$ für alle $x \in U$, so sprechen wir von einem strengen Minimum. Sind jedoch ein oder mehrere Funktionswerte in der Umgebung gleich dem Extremwert, so handelt es sich nicht um ein strenges Minimum. -
Bestimme die Extremstellen der Funktion.
TippsAchte darauf, die $x$-Werte anzugeben, und nicht die Funktionswerte.
LösungEin Extremum ist eine Stelle $x_E$, an der eine Funktion einen besonders großen oder kleinen $y$-Wert, also Funktionswert annimmt. Man unterscheidet bei lokalen und globalen Extrema:
- Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den größten im gesamten Wertebereich, so sprechen wir von einem globalem Maximum.
- Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den kleinsten im gesamten Wertebereich, so sprechen wir von einem globalem Minimum.
- Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den größten in einer bestimmten Umgebung, so sprechen wir von einem lokalen Maximum.
- Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den kleinsten in einer bestimmten Umgebung, so sprechen wir von einem lokalen Minimum.
Wir können somit folgende Extremstellen am Funktionsgraphen ablesen:
Minima:
lokale Minima: $x_{m1}=-1$ $\quad$ $x_{m2}=1,5$
globales Minimum: $x_{m3}=-2$Maxima:
lokale Maxima: $x_{M1}=-5$ $\quad$ $x_{M2}=-3,5$ $\quad$ $x_{M3}=3,5$
globales Maximum: $x_{M4}=0$ -
Formuliere Aussagen zu den Extrema der Funktion.
TippsDie Funktion hat an den Stellen $x=-2$ und $x=2$ jeweils ein Minimum, und an der Stelle $x=0$ ein Maximum.
Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_E$:
Maximum: $f(x) \leq f(x_E)$ für alle $x \in U$
Minimum: $f(x) \geq f(x_E)$ für alle $x \in U$LösungMathematische Schreibweise zu Minima und Maxima:
- Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$, also: $f(x) \leq f(x_E)$ für alle $x \in U$
- Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_E$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$, also: $f(x) \geq f(x_E)$ für alle $x \in U$
Untersuchung der vorliegenden Funktion:
Wir erkennen am Funktionsgraphen, dass die Funktion an den Stellen $x=-2$ und $x=2$ jeweils ein Minimum hat, und an der Stelle $x=0$ ein Maximum. Wir schreiben daher:- $f(x) \leq f(0)$ für alle $x \in [-1;1] \quad$
- $f(x) \geq -8$ für alle $x \in \mathbb{R} \quad$
- $f(x) > -8$ für alle $x \in [-3;-1] \quad$
- $f(x) \geq f(2)$ für alle $x \in [1;3] \quad$
-
Gib an, wie viele Minima und Maxima die Funktion hat.
TippsBei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
Diese Funktion hat ein Maximum.
LösungBei den Extrema einer Funktion unterscheidet man zwischen Minima und Maxima:
- Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
- Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
Erster Graph:
Der Graph hat bei $x=-1$ und bei $x=+1$ ein Maximum. Bei $x=0$ hat er ein Minimum. Insgesamt hat er also ein Minimum und $2$ Maxima.Zweiter Graph:
Der Graph hat bei $x=0$ ein Minimum.Dritter Graph:
Der Graph hat bei $x=0$ ein Minimum und bei $x=1,5$ ein Maximum. Insgesamt hat er also ein Minimum und ein Maximum.Vierter Graph:
Da der Graph stetig steigt, hat er kein Minimum und kein Maximum. -
Überprüfe die Schlussfolgerungen aus den gegebenen Steigungen der Funktion $f$.
Tipps- Die Steigung vor einem Maximum ist positiv, und nach einem Maximum negativ.
- Die Steigung vor einem Minimum ist negativ, und nach einem Minimum positiv.
Wechselt der Wert der Steigung das Vorzeichen, so liegt zwischen den beiden $x$-Werten mindestens ein Extremum.
Am Extrempunkt ist die Steigung gleich Null.
LösungEin Extremum an einer Stelle $x_E$ kann ein Minimum oder Maximum sein:
- Maximum: $f(x) < f(x_E)$ für alle $x \in U$
- Minimum: $f(x) > f(x_E)$ für alle $x \in U$
- Die Steigung vor einem Maximum ist positiv, und nach einem Maximum negativ.
- Die Steigung vor einem Minimum ist negativ, und nach einem Minimum positiv.
- Am Extrempunkt ist die Steigung gleich Null.
Wir untersuchen nun die Funktion $f(x)$.
Zunächst ordnen wir die gegebenen Steigungen nach dem $x$-Wert:$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x=-5 & x=-4 & x=-3 & x=0 & x=1 & x=8 \\ \hline m=-3& m=1 & m=2 & m=0,5 & m=-0,5 & 0 \end{array}$
Wechselt der Wert der Steigung das Vorzeichen, so liegt zwischen den beiden $x$-Werten mindestens ein Extremum. Wir können also schlussfolgern, dass...
- ...zwischen $x=-5$ und $x=-4$ mindestens ein Minimum liegt.
- ... zwischen $x=0$ und $x=1$ mindestens ein Maximum liegt.
- ...zwischen $x=1$ und $x=8$ mindestens ein Minimum liegt.
Wir wissen nicht, ob zwischen den beiden Stellen jeweils noch mehr Extrema liegen, da wir keine Informationen über die Steigung dazwischen haben.
Wir können also nicht schlussfolgern, dass die Funktion genau ein Minimum hat, da zwischen den Werten noch weitere Extrema liegen könnten.
Die Aussage, die Funktion hat mindestens ein Maximum, ist wiederum richtig, da es ein oder mehr Maxima geben muss.
Da die Funktion an der Stelle $x=8$ die Steigung $0$ hat, ist die Aussage, an der Stelle $x=8$ hat die Funktion eine Extremstelle, richtig.
Die Aussage, an der Stelle $x=0,5$ hat die Funktion einen Hochpunkt, ist hingegen falsch, da die Steigung bei $x=0,5$ nicht $0$ ist.
Einführung in die Kurvendiskussion
Extrema – Minimum und Maximum
Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema
Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema
Extrempunkte bestimmen – Beispiele
Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen
Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
Nullstellen durch Substitution bestimmen
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Symmetrie von Funktionsgraphen
Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen
Sattelpunkt berechnen
Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen
Definitionsbereich von Funktionen
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6.601
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