Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen

Was sind Monotoniebereiche?

Mit dem Monotonieverhalten wird in der Mathematik die Steigung eines Funktionsgraphen bezeichnet.

Viele Funktionen zeigen nicht im gesamten Definitionsbereich das gleiche Steigungsverhalten, sondern sind in einigen Bereichen steigend und in anderen fallend. Daher gibt man Intervalle (also Bereiche bzw. Abschnitte der $x$-Achse) an, in denen der Graph die gleiche Monotonie aufweist. Wenn z. B. der Graph von $f$ zwischen zwei $x$-Werten $a$ und $b$ nur steigt, schreibt man das so: „$f$ ist streng monoton steigend im Intervall $]a,b[$.“ Das heißt, der Graph ist streng monoton steigend für alle $x$-Werte mit $a\lt x\lt b$, denn es handelt sich um ein offenes Intervall, in dem die Zahlen $a$ und $b$ nicht enthalten sind.

Wie kann man Monotoniebereiche berechnen?

Daher kann man den Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten im Intervall $]a,b[$ und dem Vorzeichen der ersten Ableitung für $a\lt x\lt b$ wie in folgender Tabelle zusammenfassen:

Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, muss man also untersuchen, in welchen Bereichen die erste Ableitung positiv, negativ oder null ist.

Bestimmung von Monotoniebereichen – Beispielaufgaben

Um die Aufgaben nachzuvollziehen, solltest du schon wissen, wie man die erste Ableitung einer Funktion bestimmt (u. a. mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel) und wie man Nullstellen berechnet (z. B. mit der $pq$-Formel).

Beispiel 1 – Funktion mit zwei Extrempunkten

Bilde die erste Ableitung:

$f^\prime(x)=3x^{2}+6x-24$

Bestimme die Nullstellen:

$\begin{array}{cclr}f^\prime(x) & = & 0 \\ 3x^2+6x-24 & = & 0 & \vert :3\newline \\ x^2+2x-8 & = & 0 \end{array}$

$x_{1,2}=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{2}{2}\right )^{2}-(-8)}=-1 \pm \sqrt{9}=-1 \pm 3$

$\implies x_{1}=-4 \text{ und } x_{2}=2$

Gib die Teilintervalle an:

Die Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, der Definitionsbereich geht also von $-\infty$ bis $+\infty$ und wird durch die Nullstellen $x_{1}=-4$ und $x_{2}=2$ in drei Bereiche unterteilt: $]-\infty, -4[$ und $] -4, 2[$ und $] 2, \infty[$.

Bestimme die Monotonie in jedem Intervall:

Setze aus jedem Intervall eine Zahl in die erste Ableitung ein und prüfe, welches Vorzeichen das Ergebnis hat. Welche Zahl du auswählst, ist beliebig, allerdings musst du darauf achten, dass es sich um offene Intervalle handelt, das heißt, die Intervallgrenzen gehören nicht zum Intervall und dürfen nicht eingesetzt werden (in diesem Fall $-4$ und $2$).

$f^\prime(-10)=3\cdot(-10)^2+6\cdot(-10)-24=216\newline \implies f^\prime(-10)\gt 0$

$f^\prime(1)=3\cdot 1^2+6\cdot 1-24=-15\newline \implies f^\prime(1)\lt 0$

$f^\prime(10)=3\cdot 10^2+6\cdot 10-24=336\newline \implies f^\prime(10)\gt 0 $

Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst, vergleiche diese mit der Skizze des Graphen.

Übrigens kann man anhand der Monotoniebereiche auch die Art der Extremstellen des Graphen ablesen: An der Stelle, an der sich die Monotonie von steigend nach fallend ändert, ist ein Hochpunkt und an der Stelle, an der sich die Monotonie von fallend nach steigend ändert, ist ein Tiefpunkt. Diese Tatsache macht sich das Vorzeichenwechselkriterium zunutze.

Beispiel 2 – Funktion mit Sattelpunkt

Bilde die erste Ableitung:

$f^\prime(x)=6x^{2}-36x+54$

Bestimme die Nullstellen:

$\begin{array}{cclr}f^\prime(x) & = & 0 \\ 6x^2-36x+54 & = & 0 & \vert :6 \\ x^2-6x+9 & = & 0 \end{array}$

$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2}\right )^{2}-9}=3 \pm \sqrt{0}=3 \pm 0$

$\implies x=3$

Gib die Teilintervalle an:

Die Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, der Definitionsbereich geht also von $-\infty$ bis $+\infty$ und wird durch die Nullstelle $x=3$ in zwei Bereiche unterteilt: $]-\infty, 3[$ und $] 3, \infty[$.

Bestimme die Monotonie in jedem Intervall:

Setze aus jedem Intervall eine Zahl in die erste Ableitung ein und prüfe, welches Vorzeichen das Ergebnis hat.

$f^\prime(0)=6\cdot 0^{2}-36\cdot 0+54=54\newline \implies f^\prime(0)\gt 0$

$f^\prime(10)=6\cdot 10^{2}-36\cdot 10+54=294\newline \implies f^\prime(10)\gt 0$

Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst. Vergleiche diese mit der Skizze des Graphen.

Da das Monotonieverhalten sich nicht ändert, ist der Graph im gesamten Definitionsbereich ${]-\infty, \infty[}$ monoton steigend – aber nicht streng monoton steigend, weil der Graph an der Stelle $x=3$ die Steigung $0$ hat.

Außerdem kann man ablesen, dass der Graph keine Extremstelle bei $x=3$ hat, da die Monotonie links und rechts von der Stelle steigend ist. Der Graph hat an dieser Stelle einen Sattelpunkt.