Abgrenzung linearer und nichtlinearer Funktionen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was sind Funktionen?
• Lineare Funktion
• Unterscheidung von linearen und nichtlinearen Funktionen

Was sind Funktionen?

Bestimmte Abhängigkeiten zwischen zwei Größen können in der Mathematik mit Funktionen beschrieben werden. Beim Lebensmitteleinkauf kannst du solche Zusammenhänge oft feststellen: Wenn eine Packung Gummibärchen $1,50$ € kostet, so weißt du natürlich auch, wie viel dann $2$ Packungen kosten. Die Anzahl der Packungen und der Gesamtpreis hängen also klar voneinander ab.

Solche Zusammenhänge können mathematisch als Funktionsgleichung formuliert werden. Zunächst werden die Größen durch $x$ und $y$ abgekürzt, denn Mathematiker sind unglaublich schreibfaul:

• $x$ := „Anzahl der Gummibärchenpackungen“,
• $y$ := „Gesamtpreis“.

Bei den zwei Packungen von vorher hast du bestimmt wie folgt im Kopf gerechnet: $1,50\cdot 2=3,00$€. Den Einzelpreis $1,50$ € hast du mit der Anzahl $x$ multipliziert, um den Gesamtpreis $y$ zu erhalten:

$ y = 1,50 \cdot x $.

In diese Funktionsvorschrift kannst du für die Variable $x$ eine Zahl einsetzen und bekommst den zugehörigen Wert $y$. Du erhältst damit Paare $(x\vert y)$. Diese können als Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden. Damit erhältst du den Funktionsgraphen.

Diese Art von Funktion wird auch als direkte Proportionalität bezeichnet. Denn der Funktionsgraph ist gerade und verläuft durch den Koordinatenursprung $O (0/0)$.

Stell dir vor, deine Lieblingsgummibärchen gäbe es nicht mehr im Laden zu kaufen. Im Internet könnten sie aber noch bestellt werden, sogar für nur $0,90$ € pro Packung. Jetzt fallen allerdings Kosten für den Versand mit der Post an, nämlich immer $4,50$ €.

Lineare Funktion

Zum Gesamtpreis muss also am Schluss $4,50$ € dazugerechnet werden. Mit dem günstigeren Einzelpreis einer Packung von $0,90$ € erhältst du also folgende Funktion:

$ y = 0,90 \cdot x + 4,50 $.

Diese Art von Funktion wird lineare Funktion genannt. Ihr Graph ist eine Gerade. Die Funktionsvorschrift hat immer folgende Form:

$ y = m \cdot x + b $.

Dabei ist $x$ die Veränderliche, $y$ der Funktionswert. Diese beiden Größen bleiben als Buchstaben in der Gleichung stehen. Der Anstieg, oder auch Steigung genannt, ist dabei $m$. Der Schnittstelle mit der $y$-Achse, auch $y$-Achsenabschnitt, ist $b$.

Bei dem Beispiel mit den Gummibärchen ist also $m=0,90$ und $b=4,50$. Mit $y=0,90\cdot x + 4,50$, also der Geradengleichung in Normalform, kann der Graph gezeichnet werden.

Unterscheidung von linearen und nichtlinearen Funktionen

Nichtlineare Funktionen sind z. B. quadratische, kubische, gebrochenrationale oder Kreisfunktionen. Ihre Graphen haben Kurven, Krümmungen oder Ecken. Wenn du diese betrachtest, stellst du schnell fest, dass ihre Wertepaare nicht alle auf einer gemeinsamen Gerade verlaufen.

Grundsätzlich kannst du also mithilfe des Graphen entscheiden, ob es sich um eine lineare oder nichtlineare Funktion handelt. Das geht aber auch durch ihre Funktionsgleichungen. Denn alle Gleichungen, die nicht in der Form $y=m\cdot x +b$ geschrieben werden können, sind nichtlinear, zum Beispiel wenn $x$ im Betrag steht, potenziert wird oder selbst die Hochzahl ist.

• $y = |x|$ (Betragsfunktion, gelber Graph)
• $ y = -0,5 \cdot x^{3}-1$ (kubische Funktion, roter Graph)
• $y = -2+3^{x}$ (Exponentialfunktion, blauer Graph)